Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique

On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.

Un système de coordonnées $x^{i}$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale $ds={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}$. Le signe optionnel $\left[-\right]$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable $\tau$, on écrit $ds={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}d\tau$, où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à $\tau$. La longueur de la trajectoire est donc la somme

$\int {\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}d\tau$

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

${\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial x^{l}}}-{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial {\dot {x}}^{l}}}\right)=0$

avec

${\dot {s}}={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}$