Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique

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On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.

Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale . Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à . La longueur de la trajectoire est donc la somme

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

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