Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Rotationnel

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Tenseur rotationnel[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné un champ de vecteurs covariants dans un espace de dimension quelconque, la dérivée covariante est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme est par construction un tenseur antisymétrique.

Expression à partir de la dérivée simple[modifier | modifier le wikicode]

La symétrie du symbole de Christoffel permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple : .

Rotationnel en dimension 3[modifier | modifier le wikicode]

En dimension 3, le tenseur dualiseur permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel : .

Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes , mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique ainsi que sa symétrie, on trouve .