Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel

Le symbole de Christoffel est défini à partir de la dérivée partielle des vecteurs de la base naturelle :

$\Gamma _{ij}^{k}=\left(\partial _{i}\mathbf {e} _{j}\right)\mathbf {e} ^{k}=\mathbf {e} _{j,i}\mathbf {e} ^{k}$

Étant donné la définition de la base naturelle, on peut écrire $\Gamma _{ij}^{k}=\left(\partial _{i}\partial _{j}\mathrm {l} \right)\mathbf {e} ^{k}$ pour mettre en évidence la symétrie du symbole de Christoffel par échange des indices bas :

$\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$

• Remarques
  1. Le symbole de Christoffel est aussi appelé connexion, avec un signe parfois différent.
  2. Ce symbole n'est pas un tenseur à cause du second terme de la formule de transformation. On définit néanmoins le symbole $\Gamma _{l|ij}=g_{lk}\Gamma _{ij}^{k}$
  3. Ce symbole permet de calculer le tenseur dérivée covariante d'un tenseur.

• Voir aussi
  1. Symbole de Christoffel en coordonnées cylindriques.
  2. Symbole de Christoffel en Coordonnées sphériques.