Partant de
a
i
;
k
=
a
i
,
k
−
Γ
i
k
j
a
j
{\displaystyle a_{i;k}=a_{i,k}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j}}
a
i
;
k
;
l
=
a
i
,
k
,
l
−
Γ
i
k
,
l
j
a
j
−
Γ
i
k
j
a
j
,
l
−
Γ
i
l
m
a
m
;
k
−
Γ
k
l
m
a
i
;
m
=
a
i
,
k
,
l
−
Γ
i
k
,
l
j
a
j
−
Γ
i
k
j
a
j
,
l
−
Γ
i
l
m
a
m
,
k
+
Γ
i
l
m
Γ
m
k
n
a
n
−
Γ
k
l
m
a
i
,
m
+
Γ
k
l
m
Γ
i
m
n
a
n
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{i;k;l}&=&a_{i,k,l}-\Gamma _{ik,l}^{j}a_{j}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j,l}-\Gamma _{il}^{m}a_{m;k}-\Gamma _{kl}^{m}a_{i;m}\\&=&a_{i,k,l}-\Gamma _{ik,l}^{j}a_{j}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j,l}-\Gamma _{il}^{m}a_{m,k}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{n}a_{n}-\Gamma _{kl}^{m}a_{i,m}+\Gamma _{kl}^{m}\Gamma _{im}^{n}a_{n}\end{matrix}}}
Les termes 1, 6 et 7 sont symétriques en kl et disparaissent donc dans le calcul de
a
i
;
k
;
l
−
a
i
;
l
;
k
{\displaystyle a_{i;k;l}-a_{i;l;k}}
R
i
j
k
l
=
−
Γ
i
k
,
l
j
+
Γ
i
l
,
k
j
+
Γ
i
l
m
Γ
m
k
j
−
Γ
i
k
m
Γ
m
l
j
{\displaystyle R_{i}{}^{j}{}_{kl}=-\Gamma _{ik,l}^{j}+\Gamma _{il,k}^{j}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{j}-\Gamma _{ik}^{m}\Gamma _{ml}^{j}}
