Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Transformation contraco

On transforme les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

$x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}$

Étant donné que $g^{ij}$ est la matrice inverse de $g_{ij}$, on a

$x^{i}=\sum _{j}g^{ij}x_{j}$

• Remarques
  1. Avec la convention d'Einstein, on sous-entend le symbole $\sum$ dès qu'un indice figure à la fois en haut et en bas. On écrit ainsi $x_{i}=g_{ij}x^{j}$, et $x^{i}=g^{ij}x_{j}$.
  2. Il y a une convention plus radicale utilisée par certains auteurs suivant laquelle on omet également le tenseur métrique dès lors qu'il intervient dans une contraction. Ainsi, à la place de $a^{i}b_{i}=g^{ij}a_{i}b_{j}$, on écrit $a_{i}b_{i}$.
  3. La transformation contraco peut être appliquée à plusieurs indices d'un tenseur d'ordre quelconque. Par exemple $a^{ij}=g^{ik}g^{jl}a_{kl}$.