Cosmologie/L'évolution adiabatique et isotherme des perturbations

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Dans les chapitres précédents, nous avons utilisé des équations où la densité était un terme unique. Celle-ci n'est autre que la densité d'énergie, qui est elle-même la somme de la densité de matière, du rayonnement et de courbure. La courbure moyenne est considérée comme homogène, identique en tout point de l'univers. Les modifications locales de courbures sont causées par l'accumulation de matière et/ou de rayonnement, pas par une fluctuation locale de densité de courbure. Toute sur-densité peut ainsi être une sur-densité de matière et/ou de rayonnement.

Les perturbations peuvent impliquer différentes formes d'énergie et ont peu en distinguer plusieurs sous-types.

Les trois types de perturbations
Nom Description Équations
Perturbations adiabatiques Sur-densité à la fois de matière et de rayonnement. Le rapport entre densité de rayonnement et de matière reste le même dans la sur-densité et en-dehors.
Perturbations isothermes Sur-densités de matière sans sur-densité de rayonnement.
Perturbations d'isocourbure Les sur-densités de matière sont compensées par une sous-densité de lumière, la courbure restant la même dans la sur-densité et dans son environnement.

Les perturbations adiabatiques rendent bien compte de l'état de la matière avant le découplage des photons. L'évolution de l'univers était alors adiabatique, en raison des interactions entre rayonnement et matière. Du fait de ses interactions avec la matière, le rayonnement ne peut pas fuir dans l'environnement et reste bloqué dans la sur-densité. Là où il y avait de la matière, le rayonnement devait suivre. Le rayonnement tend à rester bloqué dans ces sur-densités, du moins suffisamment pour ne pas atteindre l'équilibre thermique. Il ne peut pas échanger de chaleur avec le voisinage, la chaleur restant dans la sur-densité, d'où le nom de perturbations adiabatiques qui est donné à ces perturbations. Dans ces perturbations, l'entropie reste constante, ce qui fait que l'on peut réutiliser l'équation du chapitre précédent.

Ce n'est qu'après le découplage des photons que la matière et le rayonnement ont commencé à évoluer indépendamment l'une de l'autre. Le rayonnement a pu alors quitter les zones de sur-densité, vu qu'il n'interagissaient plus avec elles, et échanger de la chaleur avec l'environnement. Le rayonnement s'est progressivement dilué dans l'espace, alors que les sur-densités de matière sont restées, donnant des perturbations de matière pure. Les perturbations isothermes ont alors remplacé les perturbations adiabatiques. La température s'est stabilisée quand la sur-densité fût à l'équilibre thermique, de même température que son environnement. D'où le nom de perturbation isotherme.

Le rapport entre densités de matière et de rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Dans la suite du cours, nous allons avoir besoin du rapport entre densité de matière et de rayonnement avant et après le découplage pour rendre compte de ces perturbations. Dans les quatre premiers chapitres du cours, nous avons établit que :

et

Ce qui donne après simplification :

et

Vu les deux dérivées précédentes, on devine qu'il sera intéressant d'utiliser le rapport suivant :

Pour donner un exemple, ce rapport influence la vitesse du son et l'entropie.

Vitesse du son et rapport R[modifier | modifier le wikicode]

Pour le cas de la vitesse du son, on a :


Démonstration

Partons de la définition de la vitesse du son :

Sachant que l'univers primordial contient du rayonnement et de la matière (l'énergie noire n'a pas encore un effet notable), on a :

La matière n'ayant pas de pression, la formule se simplifie en :

On sait que , . En injectant dans l'équation précédente, on a :

On peut ensuite utiliser la formule pour le rayonnement, ce qui donne :

En utilisant , l'équation précédente se simplifie en :

L'entropie et le rapport R[modifier | modifier le wikicode]

Le rapport R intervient aussi dans le calcul de la perturbation d'entropie, à savoir le rapport suivant :

Par définition, on a :

En divisant par , on a :

On peut remarquer que le résultat précédent intervient dans le calcul de la vitesse du son vu plus haut !

L'évolution avant découplage[modifier | modifier le wikicode]

Lors de l'évolution adiabatique, l'entropie ne change pas. On a donc :

On devine alors que :

Ou encore que :

Diffusion Compton sans expansion[modifier | modifier le wikicode]

Illustration du processus de diffusion Compton.

Avant le découplage, le rayonnement et la matière évoluaient ensemble, que ce soit au niveau de la densité, de la pression ou de la température. Les interactions entre photons et électrons libres étaient fréquentes, suffisamment pour redistribuer l'énergie des photons aux électrons (et réciproquement). Le processus d'interaction principal était la diffusion Compton, ainsi que le processus inverse, la diffusion Compton inverse. Celle-ci est une collision entre un photon et un électron libre, où les deux particules échangent de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique.

Les physiciens rendent compte de la fréquence de ces collisions par deux paramètres : le temps moyen entre deux collisions et la distance moyenne entre deux collisions. Le temps moyen entre deux collisions est appelé le temps de libre parcours moyen, tandis que la distance moyenne entre deux collisions est appelée le libre parcours moyen. Évidemment, les deux sont liés entre eux par la vitesse des particules du gaz : la distance de libre parcours moyen est ainsi égale au produit de la vitesse moyenne par le temps de libre parcours moyen. Ainsi, plus un gaz est froid, plus, plus le temps et la distance entre deux collision sont faibles. Il en est de même pour les gaz denses : ceux-ci ont un libre parcours moyen assez faible, vu que les particules sont plus proches.

Il est possible de calculer le libre parcours moyen en utilisant une relation très simple entre celui-ci et deux autres variables : le nombre de particules par unités de volume et la probabilité moyenne d'une collision. Le nombre de particules par unité de volume remplace en quelque sorte la densité : plus il y a de particules par unité de volume, plus celles-ci ont de chances d'entrer en collision. Quant à la probabilité d'une collision, elle se calcule à partir des équations de la diffusion Compton. Nous ne ferons pas ces calculs ici, d'autres articles sur la diffusion Compton le feront certainement mieux que moi. Elle se calcule avec la formule suivante, avec la constante de structure fine et la masse d'un électron.

Le libre parcours moyen est égal, par définition, à l'équation suivante. On note le libre parcours moyen, le nombre d'électrons par unité de volume, et la probabilité d'interaction Compton entre deux particules.

Le temps de libre parcours moyen se calcule en divisant cette distance par la vitesse d'un photon, ce qui donne :

Avec expansion, les équations de la diffusion Compton change un petit peu. Avec l'expansion, le libre parcours moyen va naturellement augmenter, à cause de l'évolution du facteur d'échelle. On peut remarquer que l'expansion n'influence pas la section efficace d'interaction Compton : son influence se fait sur la densité des électrons, qui diminue d'un facteur avec l'expansion. Suite à l'expansion, il arrive un moment où le libre parcours moyen devient plus grand que l'horizon cosmologique, que l'univers observable. Lorsque cela arrive, la diffusion Compton entre un photon du CMB et un électron libre devient "impossible", ou tout du moins fortement improbable. Les photons cessent d'interagir complètement avec les électrons libres, qui sont alors libres de former des atomes avec les noyaux. C'est ainsi qu'à lieu le découplage.

Approximation du couplage fort[modifier | modifier le wikicode]

La diffusion Compton ne faisait pas que redistribuer la quantité de mouvement : elle couplait aussi fortement le nombre de photons et de baryons. Si on prenait un volume d'espace fini, le nombre de photons et de baryons ne différait pas sensiblement l'un de l'autre. Il y avait bien quelques variations ci et là, mais on peut parfaitement supposer qu'en moyenne, le nombre de particules par unité de volume était le même pour les photons et les baryons. Dit autrement, avec et le nombre de photons et de baryons par unité de volume :

On sait de plus que et que , ce qui donne :

On peut alors calculer le rapport : , qui vaut :

On peut alors réutiliser l'équation pour la vitesse du son en fonction de R , ce qui donne :

L'évolution après le découplage[modifier | modifier le wikicode]

Après le découplage, les densités de matière et de rayonnement sont indépendantes l'une de l'autre. Elles suivent alors les relations vues dans les premiers chapitres :

Le rapport R évolue avec les variations de densité de rayonnement et de matière.

On peut alors injecter l'équation précédente dans l'équation  :

L'équation précédente dit que la vitesse du son diminue avec l'expansion, du moins après le découplage. Si on attend suffisamment longtemps après le découplage, le facteur d'échelle sera devenu suffisamment grand pour que l'on aie : . On obtient alors :

Ce qui fait que l'équation se simplifie en :

La vitesse du son et les forces de pression[modifier | modifier le wikicode]

On vient de voir que la vitesse du son n'est pas la même avant et après le découplage. On pourrait croire que ce fait est sans conséquences, mais tel n'est pas le cas. En effet, la vitesse du son est aussi la vitesse de transmission des forces de pression. Les ondes sonores sont en effet des ondes de pression (compression/décompression). Elles naissent quand la pression varie en un point d'un objet et transmettent cette variation aux alentours. Or, la pression est ce qui permet de lutter contre la gravité dans les sur-densités. Si la vitesse de transmission de la pression est trop faible, les forces de gravité peuvent l'emporter sur la pression dans certaines circonstances. Une sur-densité peut ainsi s'effondrer si les ondes de pression sont trop lentes et ne permettent pas de lutter assez rapidement contre leur contraction gravitaire.

Pour être précis, la vitesse du son influence la longueur de Jeans. Lors du découplage, la longueur de Jeans a fortement diminuer, sans compter qu'elle est passée d'une constante à une grandeur qui diminue avec l'expansion.