Cosmologie/L'évolution adiabatique et isotherme des perturbations

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Dans les chapitres précédents, nous avons utilisé des équations où la densité était un terme unique. Celle-ci n'est autre que la densité d'énergie, qui est elle-même la somme de la densité de matière, du rayonnement et de courbure. La courbure moyenne est considérée comme homogène, identique en tout point de l'univers. Les modifications locales de courbures sont causées par l'accumulation de matière et/ou de rayonnement, pas par une fluctuation locale de densité de courbure. Toute sur-densité peut ainsi être une sur-densité de matière et/ou de rayonnement.

Reste à expliquer comment les sur-densités de matière sont liées avec les sur-densités de rayonnement. Il existe plusieurs possibilités : soit les sur-densités de matières sont liées à des sur-densités de rayonnement, soit les sur-densités de matières sont compensées par des sous-densités de rayonnement, soit les sur-densités de matière et de rayonnement sont indépendantes. Ces trois possibilités sont étudiées dans des modèles théoriques différents, notamment dans l'étude de l'inflation ou de l'univers primordial. Quoiqu'il en soit, ces trois possibilités permettent de distinguer trois types théoriques de perturbations, qui sont décrits dans le tableau ci-dessous.

Les trois types de perturbations
Nom Description Équations
Perturbations adiabatiques Sur-densité à la fois de matière et de rayonnement.

Le rapport entre densité de rayonnement et de matière reste le même dans la sur-densité et en-dehors. De même, l'entropie reste la même dans et en-dehors de la perturbation, ce qui fait qu'on donne parfois le nom d'isentropique donné à ce type de perturbation.

Perturbations isothermes (d'isocourbure) Les sur-densités de matière sont compensées par une sous-densité de lumière.

Du fait de cette compensation, la densité totale reste constante partout. En conséquence, la gravité/courbure reste la même dans la perturbation et dans son environnement, d'où le nom d'isocourbure donné à ce type de perturbation.

Les perturbations adiabatiques rendent bien compte de l'état de la matière avant le découplage des photons. L'évolution de l'univers était alors adiabatique, en raison des interactions entre rayonnement et matière. Du fait de ses interactions avec la matière, le rayonnement ne peut pas fuir dans l'environnement et reste bloqué dans la sur-densité. Là où il y avait de la matière, le rayonnement devait suivre. Le rayonnement tend à rester bloqué dans ces sur-densités, du moins suffisamment pour ne pas atteindre l'équilibre thermique. Il ne peut pas échanger de chaleur avec le voisinage, la chaleur restant dans la sur-densité, d'où le nom de perturbations adiabatiques qui est donné à ces perturbations. Dans ces perturbations, l'entropie reste constante, ce qui fait que l'on peut réutiliser l'équation du chapitre précédent.

Ce n'est qu'après le découplage des photons que la matière et le rayonnement ont commencé à évoluer indépendamment l'une de l'autre. Le rayonnement a pu alors quitter les zones de sur-densité, vu qu'il n'interagissaient plus avec elles, et échanger de la chaleur avec l'environnement. Le rayonnement s'est progressivement dilué dans l'espace, alors que les sur-densités de matière sont restées, donnant des perturbations de matière pure. Les perturbations ne sont alors ni isothermes, ni adiabatiques.

Le rapport entre densités de matière et de rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Dans la suite du cours, nous allons avoir besoin du rapport entre densité de matière et de rayonnement avant et après le découplage pour rendre compte de ces perturbations. Dans les quatre premiers chapitres du cours, nous avons établit que :

et

En notant et , on a :

et

Vu les deux dérivées précédentes, on devine qu'il sera intéressant d'utiliser le rapport suivant :

Évidemment, le rapport R n'est pas le même avant et après le découplage. Avant le découplage, ce rapport est constant, le rayonnement et la matière évoluant de concert. Toute variation de l'un se répercute sur l'autre, du fait des interactions entre rayonnement et matière. Mais après le découplage, le rayonnement et la matière n'ont plus beaucoup d'interactions et leurs densités évoluent indépendamment. La densité du rayonnement chutant plus vite que celle de la matière, le rapport R diminue progressivement avec l'expansion.

Le rapport R influence la vitesse du son et l'entropie, ce qui a des conséquences assez importantes.

La vitesse du son et le rapport R[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer le lien entre R et vitesse du son, partons de la définition de la vitesse du son :

Sachant que l'univers primordial contient du rayonnement et de la matière (l'énergie noire n'a pas encore un effet notable), on a :

La matière n'ayant pas de pression, la formule se simplifie en :

On sait que , . En injectant dans l'équation précédente, on a :

On peut ensuite utiliser la formule pour le rayonnement, ce qui donne :

En utilisant , l'équation précédente se simplifie en :

Prenons la racine carrée :

L'équation précédente nous dit que la vitesse du son évolue avec le rapport R (comme sa racine carré).

Vu que le rapport R évolue avant et après le découplage, la vitesse du son fait de même, ce qui n'est pas sans conséquences. En effet, les ondes sonores sont en effet des ondes de pression (compression/décompression). Elles naissent quand la pression varie en un point d'un objet et transmettent cette variation aux alentours. La vitesse du son est aussi la vitesse de transmission des forces de pression. Or, la pression est ce qui permet de lutter contre la gravité dans les sur-densités. Si la vitesse de transmission de la pression est trop faible, les forces de gravité peuvent l'emporter sur la pression dans certaines circonstances. Une sur-densité peut ainsi s'effondrer si les ondes de pression sont trop lentes et ne permettent pas de lutter assez rapidement contre leur contraction gravitaire. Pour être précis, la vitesse du son influence la longueur de Jeans. Lors du découplage, la longueur de Jeans a fortement diminuer, sans compter qu'elle est passée d'une constante à une grandeur qui diminue avec l'expansion.

L'entropie et le rapport R[modifier | modifier le wikicode]

Le rapport R intervient aussi dans le calcul de la perturbation d'entropie, à savoir le rapport suivant :

Par définition, on a :

En divisant par , on a :

On peut remarquer que le résultat précédent intervient dans le calcul de la vitesse du son vu plus haut !

Les perturbations adiabatiques[modifier | modifier le wikicode]

Avant le découplage, les sur-densités sont de type adiabatique/isentropiques. Par définition, lors de l'évolution adiabatique, l'entropie ne change pas. On a donc :

On devine alors que :

Ou encore que :

On peut alors réutiliser l'équation pour la vitesse du son en fonction de R , ce qui donne :

L'équation nous dit qu'avant le découplage, le rayonnement et la matière évoluaient ensemble, que ce soit au niveau de la densité, de la pression ou de la température. Reste à expliquer pourquoi l'équation est restée valide avant le découplage, pourquoi les perturbations étaient adiabatiques avant le découplage. Pour cela, il faut étudier les interactions entre matière ionisée et rayonnement. Dans les grandes lignes, les interactions entre photons et électrons libres étaient fréquentes, suffisamment pour redistribuer l'énergie des photons aux électrons (et réciproquement). Rentrons maintenant dans le détail de ces interactions.

Le processus de diffusion Compton sans expansion[modifier | modifier le wikicode]

Illustration du processus de diffusion Compton.

Avant le découplage, le processus d'interaction principal était la diffusion Compton, ainsi que le processus inverse, la diffusion Compton inverse. Celle-ci est une collision entre un photon et un électron libre, où les deux particules échangent de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique.

Les physiciens rendent compte de la fréquence de ces collisions par deux paramètres : le temps moyen entre deux collisions et la distance moyenne entre deux collisions. Le temps moyen entre deux collisions est appelé le temps de libre parcours moyen, tandis que la distance moyenne entre deux collisions est appelée le libre parcours moyen. Évidemment, les deux sont liés entre eux par la vitesse des particules du gaz : la distance de libre parcours moyen est ainsi égale au produit de la vitesse moyenne par le temps de libre parcours moyen. Ainsi, plus un gaz est froid, plus, plus le temps et la distance entre deux collision sont faibles. Il en est de même pour les gaz denses : ceux-ci ont un libre parcours moyen assez faible, vu que les particules sont plus proches.

Il est possible de calculer le libre parcours moyen en utilisant une relation très simple entre celui-ci et deux autres variables : le nombre de particules par unités de volume et la probabilité moyenne d'une collision. Le nombre de particules par unité de volume remplace en quelque sorte la densité : plus il y a de particules par unité de volume, plus celles-ci ont de chances d'entrer en collision. Quant à la probabilité d'une collision, elle se calcule à partir des équations de la diffusion Compton. Nous ne ferons pas ces calculs ici, d'autres articles sur la diffusion Compton le feront certainement mieux que moi. Elle se calcule avec la formule suivante, avec la constante de structure fine et la masse d'un électron.

Le libre parcours moyen est égal, par définition, à l'équation suivante. On note le libre parcours moyen, le nombre d'électrons par unité de volume, et la probabilité d'interaction Compton entre deux particules.

Le temps de libre parcours moyen se calcule en divisant cette distance par la vitesse d'un photon, ce qui donne :

Avec expansion, les équations de la diffusion Compton change un petit peu. Avec l'expansion, le libre parcours moyen va naturellement augmenter, à cause de l'évolution du facteur d'échelle. On peut remarquer que l'expansion n'influence pas la section efficace d'interaction Compton : son influence se fait sur la densité des électrons, qui diminue d'un facteur avec l'expansion. Suite à l'expansion, il arrive un moment où le libre parcours moyen devient plus grand que l'horizon cosmologique, que l'univers observable. Lorsque cela arrive, la diffusion Compton entre un photon du CMB et un électron libre devient "impossible", ou tout du moins fortement improbable. Les photons cessent d'interagir complètement avec les électrons libres, qui sont alors libres de former des atomes avec les noyaux. C'est ainsi qu'à lieu le découplage.

L'approximation du couplage fort[modifier | modifier le wikicode]

La diffusion Compton ne faisait pas que redistribuer la quantité de mouvement : elle couplait aussi fortement le nombre de photons et de baryons. Si on prenait un volume d'espace fini, le nombre de photons et de baryons ne différait pas sensiblement l'un de l'autre. Il y avait bien quelques variations ci et là, mais on peut parfaitement supposer qu'en moyenne, le nombre de particules par unité de volume était le même pour les photons et les baryons. Dit autrement, avec et le nombre de photons et de baryons par unité de volume :

On sait de plus que et que , ce qui donne :

On peut alors calculer le rapport : , qui vaut :

Ce que l'on cherchait à démontrer. En clair, le processus de diffusion Compton, couplé à l'approximation du couplage fort, suffit à expliquer pourquoi les perturbations étaient adiabatiques avant le découplage. La diffusion Compton redistribuait la quantité de mouvement entre matière et rayonnement, et le couplage fort liait les densités de photons et de baryons entre elles. Quand une sur-densité de matière se formait, le rayonnement était entrainé via couplage fort. Rayonnement et matière échangeaient de la quantité de mouvement, ce qui ajustait leurs densités dans un rapport de 3/4.

Les perturbations isothermes et leur évolution[modifier | modifier le wikicode]

Après le découplage, les densités de matière et de rayonnement sont indépendantes l'une de l'autre. Elles suivent alors les relations vues dans les premiers chapitres :

Le rapport R s'écrit alors :

On peut alors injecter l'équation précédente dans l'équation  :

L'équation précédente dit que la vitesse du son diminue avec l'expansion, du moins après le découplage. Si on attend suffisamment longtemps après le découplage, le facteur d'échelle sera devenu suffisamment grand pour que l'on aie : . On obtient alors :

Ce qui fait que l'équation se simplifie en :