Cosmologie/L'évolution du rayonnement

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On peut signaler que l'effet de l'expansion influe non seulement sur les distances entre corps matériels, mais aussi sur la lumière. La longueur d'onde de la lumière est une distance comme une autre, qui est modifiée par l'expansion de l'univers. Si une onde lumineuse est émise avec la longueur d'onde à un instant , sa longueur d'onde à un instant sera égale à :

Cela nous permet de calculer la fréquence d'une onde lumineuse en fonction du facteur d'échelle. En effet, il existe une relation entre la longueur d'onde et la fréquence pour la lumière (comme pour toute onde), les deux étant inversement proportionnels. De cette relation, on peut déduire la relation suivante :

Décalage vers le rouge cosmologique[modifier | modifier le wikicode]

Effect of the stretching of light on the light wavefront.

On peut utiliser cette relation entre longueur d'onde de la lumière et facteur d'échelle, pour calculer sa variation en fonction de l'expansion. Le fait est que le facteur d'échelle augmentant avec le temps, la longueur d'onde de la lumière augmente. Ainsi, si vous regardez une galaxie ou une étoile au loin, sa lumière semble être décalée vers les basses fréquences (le rouge), comparé à sa couleur d'émission. C'est ce décalage vers le rouge qui était utilisé pour mesurer la vitesse des galaxies par Hubble et ses collègues. Ce phénomène s'appelle le décalage vers le rouge, noté . Celui-ci est simplement le rapport entre le décalage des longueur d'onde causé par l'expansion, et la longueur d'onde d'émission :

Décalage vers le rouge et facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant la relation précédente, on déduit la valeur du décalage vers le rouge en fonction du facteur d'échelle :

Cette équation permet de déterminer quel était le facteur d'échelle, quand la lumière a été émise. Posons que le facteur d'éhcelle actuel vaut 1. L'équation obtenue est alors la suivante :

Décalage vers le rouge et facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Quelques manipulations algébriques à partir de l'équation précédente nous donnent :


Démonstration

Pour faire cette démonstration, partons de l'équation suivante :

Calculons la dérivée par rapport au temps :

Maintenant, utilisons l'équation  :

L'interprétation du décalage vers le rouge[modifier | modifier le wikicode]

Velocity-redshift

Les étudiants en physique apprennent que le décalage vers le rouge peut être causé par le mouvement d'un objet dans l'espace. Quand un objet s'éloigne de nous, à une certaine vitesse propre, la fréquence de la lumière qu'il émet baisse. Et réciproquement, un objet qui s'approche émettra une lumière plus bleuie, dont la fréquence a légèrement augmenté. C'est l'effet Doppler-Fizeau. Celui-ci donne la formule suivante, entre la vitesse de l'objet en mouvement et le décalage vers le rouge qui en découle. Cette relation est cependant une approximation, dérivée des équations de Newton, valide uniquement pour des objets dont la vitesse d'éloignement est faible. En clair, cette formule ne vaut que pour des objets cosmologiques "proches".

Il pourrait être tentant d'utiliser une formule plus précise, tirée de la relativité restreinte, histoire d'obtenir des résultats corrects pour des objets lointains. Mais cela donnera des résultats faux, pour des raisons assez techniques liées au changement de vitesse de l'expansion (qui n'est pas forcément constante). Appliquées de manière naïve à des galaxies lointaines, les formules de la relativité restreinte et générales donnent des vitesses supérieures à la vitesse de la lumière. L’interprétation en terme d'effet Doppler impliquerait donc que les galaxies lointaines se déplacent plus vite que la relativité, en totale contradiction avec la relativité. La seule interprétation correcte de ce décalage vers le rouge cosmologique n'est donc pas une vitesse de déplacement dans l'espace, mais une modification du facteur d'échelle, valable quel que soit le référentiel. Mais une explication claire de ce processus demande d'utiliser la relativité générale.

La thermodynamique du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

La majorité du rayonnement dans l'univers forme un gaz de photons homogène et isotrope (nous détaillerons cette remarque quand nous aborderons le rayonnement de fond diffus cosmologique). Autrement dit, c'est un rayonnement de corps noir. Ce gaz de photons possède divers propriétés, qui sont affectées par l'expansion : il possède une densité d'énergie, une température, et bien d'autres paramètres.

Rappel : les équations d'un gaz de photons[modifier | modifier le wikicode]

Illustration de la loi de Planck.

Un gaz de photon est formellement décrit par la fameuse équation de Planck, que nous ne détaillerons pas ici. Celle-ci donne tout simplement la densité d'énergie des photons qui possèdent une fréquence f, dans un gaz de photons de température T. Et cette équation contient un terme, la fréquence, sensible au facteur d'échelle. Voici cette équation de Planck :

On peut reformuler cette équation en utilisant la longueur d'onde, ce qui donne :

Une illustration de la distribution des photons suivant leur fréquence est illustré dans le schéma de droite.Le schéma de droite montre que le pic d'intensité, à savoir la fréquence où le nombre de photons est maximal. Or, ce pic est proportionnel à la température moyenne du gaz de photon, d'après la relation suivante : .

Énergie des photons[modifier | modifier le wikicode]

Un gaz de photons, ou rayonnement de corps noir a une densité d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume) à savoir la quantité d'énergie du rayonnement par unité de volume, que nous noterons . Cette densité d'énergie se calcule avec la loi de Stephan, qui se dérive de l'équation de Planck. Celle-ci dit que la densité d'énergie d'un gaz de photon est proportionnelle à puissance quatrième de sa température. Voici cette loi, avec une constante, la constante de Stephan, et la température :

Les lois de la physique nous disent que l'énergie d'un photon dans ce gaz est égale à , avec h la constante de Planck. Des équations précédentes, il est possible de dériver laborieusement la quantité moyenne d'énergie d'un photon dans un gaz de photons. Celle-ci est approximativement celle-ci, avec la constante de Boltzmann.:

.

Nombres moyens de photons[modifier | modifier le wikicode]

Des équations précédentes, il est possible de déterminer le nombre de photons par unité de volume. Cette valeur est aussi appelée la densité de photons, par analogie avec la densité de matière, ce qui est un abus de langage. Pour la calculer, il suffit de diviser la densité d'énergie par l'énergie moyenne d'un photon. On obtient alors :

En simplifiant, on a :

Pression d'un gaz de photons[modifier | modifier le wikicode]

Peut-être savez-vous déjà que la pression d'un gaz est proportionnelle à sa quantité d'énergie. Un gaz de photons ne fait certainement pas exception à cette règle. Le coefficient de proportionnalité entre pression et densité d'énergie est de . Cela donne l'équation suivante :

Le comportement du gaz de photon suite à l'expansion[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons voir comme la pression, la densité d'énergie et la température du gaz de photon varie en fonction de l'expansion. Nous allons voir que la densité d'énergie et la température dépendent du facteur d'échelle (ou d'une de ses puissance).

La densité d'énergie du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons d'abord voir comment évolue la densité d'énergie en fonction de l'expansion. Il est facile de démontrer que :


Démonstration

Un gaz de photon reste naturellement soumis à la première loi de la thermodynamique, à la fameuse conservation de l'énergie. Celle-ci s'écrit, dans le domaine de la thermodynamique, comme suit :

Avec Q le flux de chaleur qui quitte le gaz de photons, E son énergie, P sa pression et V son volume.

On va supposer que le flux de chaleur qui quitte le gaz de photon est nul. On a alors :

Par définition, , avec la densité d'énergie. De plus, on a vu comment calculer la pression d'un gaz de photon dans les paragraphes précédents. En faisant le remplacement, on a :

On utilise alors la formule du produit d'une dérivée sur le terme de gauche :

En divisant par , on a :

On utilise alors la relation  :

CQFD !

De l'équation précédente, on peut déduire que la densité d'énergie du rayonnement varie selon la puissance quatrième du facteur d'échelle, en respectant l'équation :


Démonstration

Partons de l'équation précédente :

Intégrons des deux cotés. Vu que  :

Ce qui signifie que, d'après les règles des puissances :

De cette équation, on peut déduire que :

CQFD !

La température du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Après avoir vu la densité d'énergie, il est temps de voir ce qu'il en est pour la température. Il est facile de démontrer que la température est proportionnelle à l'inverse du facteur de Hubble. On voit donc que la température du rayonnement diminue au même rythme que l'augmentation du facteur d'échelle. Ainsi, le rayonnement né dans les premiers instants de l'univers, refroidit progressivement au fur et à mesure que l'univers s'étend.


Démonstration

Repartons de l'équation vue plus haut, dans la démonstration :

On peut alors remplacer la densité d'énergie par sa valeur calculée par la loi de Stephan, ce qui donne :

De l'équation précédente, on peut facilement démontrer que :

Un premier argument assez qualitatif (et peu rigoureux) nous permet de dériver cette équation. Rappelons la formule qui donne la fréquence où l'intensité du rayonnement de corps noir est maximale : . On peut réécrire l'équation précédente comme suit :

Du fait de la diminution de la fréquence des photons du fait de l’expansion, la température du gaz de photon doit aussi diminuer proportionnellement au facteur d'échelle. On retrouve donc l'équation précédente. Cependant, cette dérivation n'est pas parfaite, vu qu'on mélange la fréquence d'un photon unique avec la température d'un gaz de plusieurs photons. Ce qui nuit à la généralité de l'argument. Une véritable dérivation part de l'équation de la densité d'énergie dérivée plus haut.


Démonstration

Repartons de l'équation vue plus haut, dans la démonstration :

Intégrons des deux cotés. Vu que  :

En prenant l'exponentielle, on trouve que :

Interprétation physique de la variation de densité énergétique du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

On a vu que la densité d'énergie varie selon la puissance quatrième du facteur d'échelle :

On peut donner un sens physique à cette équation. Premièrement, l'énergie du rayonnement est diluée dans un volume plus grande, égal à la puissance troisième du volume initial. La densité est donc divisée par la puissance troisième. A cela, il faut ajouter la diminution de la longueur d'onde causée par le facteur d'échelle. La somme de ces deux contributions donne la formule précédente. Pour nous en rendre compte, on peut partie de la définition de la densité d'énergie du rayonnement :

La variation de la densité d'énergie provient de deux sources : une provenant de la variation du volume (l'expansion) et l'autre de la diminution de l'énergie du rayonnement.

La contribution du volume[modifier | modifier le wikicode]

Remplaçons le volume par sa valeur dépendant du facteur d'échelle, à savoir l'équation . On a donc :

Si l'énergie du rayonnement demeurait constante lors de l'expansion, on aurait l'équation suivante :

On le voit, il manque un facteur pour obtenir l'équation finale. L'expansion n'a donc pas qu'un effet sur le volume, mais aussi un effet sur l'énergie de rayonnement. Voyons quelle peut être son origine.

La contribution de l'énergie du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Pour obtenir l'équation , on est obligé de supposer que l'énergie du rayonnement suit l'équation suivante :

On peut facilement deviner son origine. Rappelons qu'un photon de fréquence f a une énergie égale à , avec h la constante de Planck. Or, on a vu que la fréquence varie avec l'inverse du facteur d'échelle, l'énergie des photons d'un gaz de photons doit aussi varier. En clair, l'expansion étire la longueur d'onde des photons, ce qui leur fait perdre de l'énergie. De par la relation précédente, on obtient que l'énergie d'un photon varie inversement avec le facteur d'échelle.

Une autre confirmation de cet état de faits tient que l'énergie moyenne d'un photon dans un gaz de photons est approximativement de :

On applique alors l'équation

En posant , on a :

Cette équation a une conséquence assez importante : l'énergie de l'univers ne se conserve pas, mais diminue avec le temps ! Et ce n'est pas un problème qui serait réglé en relativité générale : il y a réellement une perte d'énergie quel que soit le modèle utilisé. A l'heure actuelle, on ne sait pas comment résoudre ce problème (si tant est que ce soit vraiment un problème).