Cosmologie/L'expansion de l'univers

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Illustration de la relation entre la vitesse de fuite d'une galaxie et sa distance.

Dès 1918, les astronomes ont entrepris de mesurer la vitesse de galaxies à partir de la lumière qu'elles émettent. Les observations actuelles utilisent soit des étoiles variables (des céphéides), soit des étoiles qui explosent : les supernovas. Plus précisément, les astronomes utilisent une classe bien précise de supernovas, qui ont pour particularité de générer systématiquement la même luminosité : les supernovas de type Ia. La luminosité perçue depuis la Terre de ces supernovas est proportionnelle à la distance. Et les observations ne collent pas du tout avec cette hypothèse ! Dans les grandes lignes, on observe que les galaxies s'éloignent plus qu'elles ne se rapprochent. La conclusion est claire : l'univers s'étend, gonfle.

Hubble a été le premier astronome à mettre en équation ce comportement, dans son article daté de 1929. Il étudia un grand nombre d'observations provenant de ses collègues, ainsi que les observations qu'il avait effectuées lui-même. De ces observations, il induit une loi statistique, du nom de loi de Hubble. Cette loi dit que la vitesse d'éloignement d'une galaxie est proportionnelle à sa distance. Dit autrement, cette loi est identique à la formule qui suit, dans laquelle V est la vitesse de fuite, D la distance de la galaxie et H un facteur de proportionnalité nommée constante de Hubble.

L'expansion de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

Analogie de l'expansion de l'univers.

Aussi bizarre que cela puisse paraître, les scientifiques n'ont pas été étonnés de la découverte de la loi de Hubble. Il faut dire que la relativité générale était déjà bien avancée, et que les modèles d'univers en expansion ou en contraction étaient déjà étudiés à l'époque. De plus, cette équation avait été découverte quelques années auparavant par George Lemaitre, un abbé féru de sciences, qui avait déduit cette relation des équations de la relativité générale. Les équations de la relativité expliquent la loi de Hubble avec le concept d'expansion de l'univers : les corps matériels de l'univers s'éloignent les uns des autres au fil du temps. Les interprétations de la relativité disent que l'expansion de l'univers ne provient pas d'un mouvement des objets dans l'espace, mais d'une modification de la manière de calculer les distances avec le temps. L'image qui est souvent donnée dans la vulgarisation scientifique compare l'univers avec un gâteau au raisin qui gonfle progressivement, les raisins étant les galaxies.

Expansion de l'univers.

Avec la loi de Hubble, il est évident que l'univers devait être plus "petit" par le passé (plus précisément, la portion de l'univers qui correspond aujourd'hui à l'univers observable). En renversant l'écoulement du temps, l'univers se contracte progressivement, et on peut facilement imaginer qu'après un certain temps, tout le contenu de l'univers soit rassemblé en un seul point : la singularité initiale. L'univers serait alors né d'une dilatation de cette singularité initiale, dilatation qui porte le nom de big-bang. Mais cette vue de l'esprit pose de nombreux problèmes mathématiques. En effet, cette singularité implique que de nombreux calculs dépendant des distances donnent des divisions par zéro. Par exemple, le calcul de la pression, de la température, de la densité, ou d'autres paramètres physiques ne sont pas calculables. Tout ce que peuvent faire les scientifiques, c'est étudier ce qu'il s'est passé quelques secondes ou minutes après le temps qui correspond à cette singularité hypothétique. Les calculs actuels ne donnent plus de résultats crédibles au-delà d'une certaine durée, la durée de Planck. Celle-ci vaut environ secondes.

Le facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Mettre en équation le phénomène d'expansion de l'univers est assez trivial. Du fait de l'expansion, toute distance entre deux points sera multipliée par un facteur multiplicatif après une durée t. Pour calculer ce facteur multiplicatif, les physiciens font intervenir ce qu'on appelle le facteur d'échelle, noté . Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que nous prenons toutes les mesures dans un référentiel d'origine O, et que nous suivons la distance d'un objet matériel en fonction du temps. L'origine des temps est fixée comme étant . L'augmentation des distances à cause de l'expansion de l'univers se calcule comme suit :

L’interprétation de cette équation est assez simple : si le facteur d'échelle augmente de X %, les distances font de même.

Pour simplifier les calculs, on considère souvent que le facteur d'échelle vaut 1 à un instant idéal pour simplifier les calculs. Par exemple, comparons les distances entre un instant et un instant ultérieur. Pour simplifier les calculs, on peut supposer que le facteur d'échelle était de 1 à l'instant . Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie :

On voit que cette équation fait intervenir deux distances : et La distance peut s'interpréter comme la distance qu'auraient deux objets s'il n'y avait pas d'expansion. Elle est appelée la distance comobile. A contrario, la distance tient compte de l'expansion, qui augmente les distances entre deux objets. On voit que le facteur d'échelle (ou plutôt le rapport entre les facteurs d'échelle) est un coefficient multiplicateur qui dit par combien les distances ont étés multipliées entre l'époque actuelle et l' instant . Dit autrement, le facteur d'échelle est ce par quoi il faut diviser les distances actuelles pour obtenir les distances à l'instant . Les distances qui tiennent compte de l'expansion, opposées aux distances comobiles, sont appelées des distances propres.

Vitesse et facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

La distinction entre distance comobile et propre peut aussi se faire pour les vitesses, volumes, surfaces et autres. Par exemple, il est possible de calculer une vitesse propre en dérivant la distance propre, ce qui donne :

En utilisant la définition de la vitesse, , l'équation devient :

En divisant par , on peut reformuler pour exprimer

La vitesse calculée ainsi est une vitesse instantanée, qui est exprimée en postulant que le facteur d'échelle est celui de l’instant , à savoir . Mais il est aussi intéressant de calculer la vitesse exprimé avec le facteur d'échelle à l'origine des temps , à savoir . Cette vitesse vaut ni plus ni moins que . On la calcule en divisant la formule précédente par  :

On voit que, même exprimée dans le facteur d'échelle initial, la vitesse de l'objet se décompose en deux termes d'origine différente. Le premier terme est une vitesse provenant d'une modification de la distance comobile, qui est donc totalement indépendante de l'expansion. Elle traduit le fait que les objets s'éloignent ou se rapprochent même sans expansion. Cette forme de vitesse est appelée la vitesse locale ou encore vitesse comobile. Le second terme a pour origine l'expansion, d'où son nom de vitesse d'expansion. La vitesse comobile est celle qu'aurait un objet s'il n'y avait pas d'expansion, alors que la vitesse propre tient compte de l'expansion. Il faut noter que l'équation précédente nous explique pourquoi certaines galaxies très lointaines semblent s'éloigner de nous plus vite que la lumière. Si la vitesse locale ne peut dépasser la vitesse de la lumière, la vitesse de l'expansion n'est pas contrainte par . Ainsi, la vitesse supraluminique des galaxies lointaines provient de la vitesse de l'expansion et ne reflète pas une véritable vitesse supraluminique.

Pour les objets éloignés, la vitesse locale est négligeable par rapport à la vitesse d'expansion. Il est donc utile, de supposer la vitesse locale nulle. Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie et permet de dériver directement la loi de Hubble, comme illustré ci-dessous.


Démonstration

Partons pour cela de l'équation précédente.

Supposons que la vitesse locale est nulle.

Or, on sait que , ce qui donne :

On retrouve la loi de Hubble en postulant que  :

Comme on le voit, la démonstration précédente nous donne la valeur exacte du facteur de Hubble.

Cette formule nous donne une nouvelle interprétation du facteur de Hubble : il s'agit du taux, du pourcentage auquel l'expansion a lieu. Pour information, la dérivée s’interprète comme la vitesse de l'expansion de l'univers, la vitesse à laquelle croît le facteur d'échelle. Plus la vitesse de l'expansion est grande, plus l'univers grandit vite et s'étend rapidement. De même, la dérivée seconde de est l'accélération de l'expansion de l'univers : plus elle est grande, plus l'expansion devient de plus en plus rapide avec le temps. Le facteur de Hubble est donc la vitesse de l’expansion divisée par le facteur d'échelle, soit le taux de variation du facteur d'échelle. Intuitivement, il indique approximativement si le facteur d'échelle augmente de 5%, 10% ou 20% par unité de temps. Si H vaut 0.015, cela signifie que les distances augmentent de 1.5% par seconde.

Faites attention à ne pas confondre la vitesse de l'expansion avec la vitesse d'expansion qui est elle la vitesse d'un objet acquiert à cause de l'expansion.

Le lien entre expansion et facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

L'expansion, de part son action sur les distances, entraine naturellement une variation des surfaces, volumes et densités. Prenons par exemple une sphère de rayon et de volume  : son rayon augmentant avec le facteur d'échelle, son volume fera de même. Quelques calculs triviaux nous disent que son volume évolue avec le facteur d'échelle selon la formule suivante, avec le volume de la sphère à l'instant .

Cette équation nous permet de déduire le rapport entre le facteur de Hubble et l'expansion des volumes. On obtient alors l'équation suivante :

, qui peut aussi s'écrire de manière moins compacte comme ceci : .

Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous démontrerons l'équation du fluide de Friedmann.


Démonstration

Pour commencer, calculons la dérivée du volume :

Divisons ensuite par V, ce qui revient à diviser par :  :

On simplifie par et par  :

On utilise ensuite l'identité : pour simplifier le terme de droite, ce qui donne :

L'âge de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

Si on considère que le facteur de Hubble est constant, on peut obtenir une approximation pas trop absurde de l'âge de l'univers. Vu qu'au moment du big-bang, toutes les galaxies étaient rassemblées en un point, l'âge de l'univers est alors égal au temps qu'il a fallu pour une galaxie a atteindre sa distance actuelle D, en s'éloignant à la vitesse v calculée par la loi de Hubble. Autrement dit, l'âge de l'univers est égal à . Ce résultat est appelé le temps de Hubble, et il vaut environ 13 milliards d'années. Cette valeur est très proche de celle actuellement admise par les scientifiques, même si l'hypothèse de base du calcul n'est pas respectée (le facteur de Hubble n'est pas resté constant). Le cas général, où le facteur de Hubble n'est pas constant, est cependant plus compliqué. Nous verrons dans la suite du cours que l'âge de l'univers dépend de sa densité et de sa composition : selon sa teneur en matière et en rayonnement, son âge ne sera pas le même. L'âge de l'univers dépend notamment de sa densité. Il se trouve que le cas où la densité de l'univers est nulle donne un âge égal au temps de Hubble ! Alors que la densité de l'univers n'est évidemment pas nulle... Mais nous résoudrons ce mystère dans quelques chapitres.

De manière plus générale, l'âge de l'univers est égal à :

Or, on peut calculer le terme dt en utilisant la définition du facteur de Hubble : . On trouve alors :