Cosmologie/Le décalage vers le rouge (redshift)

Illustration du redshift. La lumière émise par l'objet est à gauche, alors que la lumière reçue par l'observateur est à droite. On voit que la lumière émise est perçue comme décalée, du point de vue du spectre, entre émetteur et observateur.

Si vous regardez une galaxie ou une étoile au loin, sa lumière semble être décalée vers les basses fréquences (le rouge), comparée à sa couleur d'émission. Le fait est que, comme on le verra juste après, il existe une relation entre la vitesse d'un objet et le décalage de la fréquence de sa lumière. La lumière est émise par l'objet à une certaine fréquence, mais la fréquence reçue par l'observateur n'est pas la même. C'est ce décalage vers le rouge qui était utilisé pour mesurer la vitesse des galaxies par Hubble et ses collègues. Ce phénomène s'appelle le décalage vers le rouge, noté $z$.

Quantifier ce phénomène est assez facile. Pour cela, les physiciens utilisent le rapport entre le décalage des longueurs d'onde causé par l'expansion, et la longueur d'onde d'émission.

$z={\frac {\lambda (t)-\lambda (t_{0})}{\lambda (t_{0})}}={\frac {\lambda (t)}{\lambda (t_{0})}}-1$, avec $\lambda (t)$ la longueur d'onde actuelle, mesurée lors d'une observation, et $\lambda (t_{0})$ la longueur d'onde lors de l'émission du rayonnement.

Cette quantité, notée $z$, est appelée le décalage vers le rouge, ou encore le redshift. Dans ce qui va suivre, nous allons voir quelle est la relation entre la vitesse d'une galaxie et son décalage vers le rouge. Nous verrons ensuite que le redshift a un lien très fort avec l'expansion de l'univers.

Par souci de lisibilité, nous noterons parfois la dérivée première d'une variable $x$, à savoir ${\frac {dx}{dt}}$, comme ceci : $x'$. Le remplacement ne sera pas systématique, la notation ${\frac {dx}{dt}}$ étant plus courante et donc plus claire. La notation $x'$ sera utilisée quand la notation ${\frac {dx}{dt}}$ est trop lourde, par exemple pour simplifier les formules de ce style : ${\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dt}}$ en ${\frac {x'}{x}}$.

La relation entre redshift et vitesse

Les étudiants en physique apprennent que le décalage vers le rouge peut être causé par le mouvement d'un objet dans l'espace. Quand un objet s'éloigne de nous, à une certaine vitesse propre, la fréquence de la lumière qu'il émet baisse. Et réciproquement, un objet qui s'approche émettra une lumière plus bleuie, dont la fréquence a légèrement augmenté. C'est l'effet Doppler-Fizeau.

Illustration de l'effet Doppler-Fizeau.

En utilisant la physique de l'effet Doppler, on peut trouver une relation entre la vitesse de l'objet et le redshift. Suivant que l'on travaille en physique newtonienne, en relativité restreinte ou en relativité générale, les formules ne sont cependant pas les mêmes.

Le calcul du redshift en fonction de la vitesse

La physique classique donne la formule suivante, entre la vitesse de l'objet en mouvement et le décalage vers le rouge qui en découle. Cette relation est cependant une approximation, dérivée des équations de Newton, valide uniquement pour des objets dont la vitesse d'éloignement est faible. En clair, cette formule ne vaut que pour des objets cosmologiques "proches". Les astres lointains vont avoir une vitesse élevée du fait de $v=H\cdot d(t)$, ce qui fait que la formule n'est alors plus utilisable.

$z(v)={\frac {v}{c}}={\frac {H\cdot d(t)}{c}}$

La relativité restreinte donne une formule encore plus précise, histoire d'obtenir des résultats corrects pour des objets lointains. Voici la formule en question :

$z(v)+1={\frac {c+v}{c-v}}$, ou encore $z(v)+1={\frac {\sqrt {1+{\frac {v}{c}}}}{\sqrt {1-{\frac {v}{c}}}}}$

Enfin la relativité générale nous donne une formule encore plus générale, qui est cependant rarement applicable telle quelle.

Le calcul de la vitesse en fonction du redshift

On peut réécrire ces formules de manière à obtenir la vitesse de l'objet à partir de son redshift. La formule de la physique classique devient alors :

$v(z)={\frac {z(t)}{c}}$

La relativité restreinte nous donne la formule suivante :

$v(z)=c\cdot {\frac {(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}}$

Enfin, la relativité générale nous donne la formule suivante :

$v(z,t)={\frac {c}{a_{0}}}{\frac {da}{dt}}\cdot \int _{0}^{z}{\frac {dz'}{H(z')}}$

La relation entre redshift et expansion de l'univers

Relation théorique entre vitesse et redshift.

Appliquées de manière naïve à des galaxies lointaines, les formules précédentes donnent des vitesses supérieures à la vitesse de la lumière au-delà du rayon de Hubble. L’interprétation en termes d'effet Doppler impliquerait donc que les galaxies lointaines se déplacent plus vite que la lumière, en totale contradiction avec la relativité. La seule interprétation correcte de ce décalage vers le rouge cosmologique n'est donc pas une vitesse de déplacement dans l'espace, mais une modification du facteur d'échelle, valable quel que soit le référentiel. En clair, une partie du redshift est causée par l'effet Doppler proprement dit, mais une autre partie est liée à l'expansion de lumière. Cette dernière est un redshift un peu spécial dans le sens où il ne correspond pas à une vitesse propre, mais à une vitesse de fuite liée à l'expansion. Nous avons déjà vu dans les chapitres précédents que cette vitesse de fuite peut dépasser la vitesse de la lumière, vu que ce n'est pas une vraie vitesse, mais une modification de la géométrie de l'espace.

Le décalage vers le rouge cosmologique est la somme de deux effets : un effet Doppler et un redshift lié à l'expansion.

Une explication claire de ce processus demande d'utiliser le facteur d'échelle. Pour cela, on doit combiner étudier l'effet de l'expansion sur la longueur d'onde de la lumière.

L'effet de l'expansion sur la lumière

Effect of the stretching of light on the light wavefront.

L'effet de l'expansion influe non seulement sur les distances entre corps matériels, mais aussi sur la lumière. La longueur d'onde de la lumière est une distance comme une autre, qui est modifiée par l'expansion de l'univers. Si une onde lumineuse est émise avec la longueur d'onde $\lambda _{0}$ à un instant $t_{0}$, sa longueur d'onde $\lambda$ à un instant $t$ sera égale à :

$\lambda =\lambda _{0}{\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$

Cela nous permet de calculer la fréquence d'une onde lumineuse en fonction du facteur d'échelle. En effet, il existe une relation entre la longueur d'onde et la fréquence pour la lumière (comme pour toute onde), les deux étant inversement proportionnelles. De cette relation, on peut déduire la relation suivante :

$f=f_{0}{\frac {a(t_{0})}{a(t)}}$

On peut utiliser cette relation entre longueur d'onde de la lumière et facteur d'échelle, pour calculer sa variation en fonction de l'expansion. Le fait est que le facteur d'échelle augmentant avec le temps, la longueur d'onde de la lumière augmente.

La relation entre redshift et facteur d'échelle

Il est possible de démontrer une relation entre le facteur d'échelle et le redshift. Pour cela, partons de l'équation suivante :

$z(t)+1={\frac {\lambda (t)}{\lambda (t_{0})}}$

On utilise alors l'équation $\lambda (t)=\lambda (t_{0}){\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$, réécrite comme ceci :

${\frac {\lambda (t)}{\lambda (t_{0})}}={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$

En combinant les deux équations précédentes, on déduit la valeur du décalage vers le rouge en fonction du facteur d'échelle. Dans ce qui suit, on suppose que $t_{0}$ est l'instant d'émission de la lumière, alors que l'observation a lieu à l'instant $t$.

$1+z(t)={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$

Posons que le facteur d'échelle actuel vaut 1. L'équation obtenue est alors la suivante :

$z(t)={\frac {1}{a(t_{0})}}-1$

$z(t)+1={\frac {1}{a(t_{0})}}$

$a(t_{0})={\frac {1}{z(t)+1}}$

La relation entre redshift et paramètre de Hubble

Quelques manipulations algébriques à partir des équations précédentes permettent d'exprimer le facteur de Hubble en fonction du redshift. Pour cela, partons de l'équation suivante :

$z(t)={\frac {1}{a(t_{0})}}-1$

Prenons la dérivée par rapport au temps :

${\frac {dz(t)}{dt}}=\left({\frac {1}{a(t_{0})}}-1\right)'$

Le calcul de la dérivée donne :

${\frac {dz(t)}{dt}}=-{\frac {a(t_{0})'}{a(t_{0})^{2}}}$

On applique la formule $H={\frac {a'(t)}{a(t)}}$ :

${\frac {dz(t)}{dt}}=-{\frac {H(t_{0})}{a(t_{0})}}$

On multiplie les deux côtés par $a(t_{0})$

$-{\frac {dz(t)}{dt}}\times a(t_{0})=H(t_{0})$

Maintenant, utilisons l'équation $a(t_{0})={\frac {1}{z(t)+1}}$ :

$-{\frac {1}{z(t)+1}}{\frac {dz(t)}{dt}}=H(t)$