Cosmologie/Le destin de l'univers

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Dans les chapitres précédents, nous avons établit la première équation de Friedmman, qui relie le facteur de Hubble avec la densité de l'univers et sa courbure. Pour rappel, la voici :

Pour simplifier les calculs, nous allons utiliser cette version de l'équation, qui fusionne l'énergie noire avec les autres formes d'énergie :

On peut déduire bien des choses à partir de cette équation, notamment comment le facteur de Hubble évolue avec la densité et comment il varie au cours du temps. Cela nous permet de déduire ce qu'il adviendra de l'univers. Continuera-t-il à s'étendre indéfiniment ? Ou au contraire, l'expansion cessera-t-elle au bout d'un certain temps ? L'univers finira-t-il par s'effondrer sur lui-même ? Il n'y a pas 36 possibilités et seuls trois scénarios sont possibles :

  • Dans le premier scénario, l'expansion de l'univers finit pas cesser et s'inverse, l'univers se contracte et le volume de l'univers observable diminue. En clair, l'univers s'effondre sur lui-même dans un grand big-crunch.
  • Dans le second cas, l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais et ne ralentit pas (soit qu'elle reste stable, soit que l'expansion accélère). Dans ce cas, l'univers grossit indéfiniment : c'est le scénario du big-rip.
  • Et enfin, dans le dernier scénario, l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais, mais celle-ci ralentit progressivement. L'univers commence par s'étendre, mais son rythme de croissance diminue peu à peu, jusqu’à s'annuler après un temps infini. Dans ce scénario, l'univers ne grossit pas indéfiniment et verra son volume tendre progressivement vers un volume maximum. Ce scénario est appelé le big chill.
Trois possibilités pour l'évolution de l'univers.

Le lien avec le facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Le scénario qui se matérialise dépend du signe du facteur de Hubble. Rappelons en effet que le facteur de Hubble est le taux d'expansion de l'univers, le taux auquel l'univers augmente de volume. Un H négatif signifie que l'univers se contracte, un H positif signifie que l'univers est en expansion, et un H nul signifie que l'univers est stationnaire. Pour l'étude du destin de l'univers, on se préoccupe du facteur de Hubble obtenu après un temps assez long, pour un âge de l'univers très important. Idéalement, on doit étudier la limite de H quand le temps tend vers l'infini : . On distingue les trois scénarios précédents selon que la limite de H est positive, négative ou nulle.

  • Positive : l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais et c'est le big rip qui se matérialise.
  • Négative : l'expansion s'inverse si le facteur de Hubble devient négatif et l'univers finit en big-crunch.
  • Nulle : le big chill se matérialise si le facteur de Hubble tend vers 0.

Or, le facteur de Hubble est relié à la courbure de l'univers et sa densité par la relation de Friedmman. Le scénario qui a effectivement lieu dépend donc de deux paramètres.

Pour étudier l'effet de la densité et de la courbure, partons de l'équation de Friedmann.

Reformulons en mettant le terme de courbure dans le terme de gauche :

Le cas du Big Chill[modifier | modifier le wikicode]

Le cas où , à savoir la troisième scénario, donne :

Le premier terme correspond à l'effet de la gravité sur l'expansion, tandis que le second traduit l'effet de la courbure. L'équation précédente nous dit que le troisième scénario a lieu si la courbure de l'univers est exactement contrebalancée par la densité. leurs effets sur l'expansion s'annulent l'un l'autre. Les deux autres scénarios se déduisent facilement de se constat. Le big crunch est le cas où la densité de l'univers surpasse l'effet de la courbure : la gravitation l'emporte sur l'expansion, ce qui fait que l'univers s'effondre sur lui-même. Inversement, si la courbure l'emporte sur la gravité/densité, l'univers s'étend de plus en plus et on est dans un cas de big rip.

Le cas d'une courbure nulle : la densité critique[modifier | modifier le wikicode]

Si la courbure est nulle, l'équation précédente devient :

On peut alors calculer la densité qui correspond, qui s'appelle la densité critique.

La densité critique correspond à la densité qu'à un univers de courbure nulle. Vous remarquerez qu'il existe une valeur de densité différente pour chaque valeur de la constante de Hubble.

Le lien avec la dérivée du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de reformuler les équations précédentes en utilisant la dérivée du facteur d'échelle , que l'on peut calculer à partir de la formule . Les deux approches sont équivalentes. Quand , le facteur d'échelle augmente au cours du temps, ce qui implique un univers en expansion. Par contre, implique un facteur d'échelle qui se réduit au cours du temps et donc un univers qui se contracte. Enfin, implique un univers stable, qui n'est ni en expansion ni en contraction.

Par définition, . En faisant le remplacement dans l'équation précédente, on trouve :

Multiplions par des deux côtés.

Élevons au carré pour éliminer la racine dans le terme de droite.

Développons et simplifions le terme de droite.

Nous nous intéressons au destin de l'univers, ce qui correspond à un âge de l'univers, et donc un facteur d'échelle, très important. Formellement, on doit prendre la limite quand tend vers l'infini pour déterminer le destin de l'univers. Une autre manière de faire est de supposer que le facteur d'échelle est très grand (), ce qui permet de simplifier l'équation précédente. Les facteurs et deviennent très petits, au point d'être négligeables, et vont naturellement s'annuler avec l'augmentation progressive de . On a alors :

Cette équation nous dit que le destin de l'univers dépend uniquement de la densité de courbure . La dérivée du facteur d'échelle ne peut s'annuler que si . Qualitativement, l'expansion diluera la matière et le rayonnement, faisant diminuer leur densité. C'est en partie le cas pour le facteur de courbure, mais l'effet est nettement plus faible et s'annule dans le calcul de la dérivée du facteur d'échelle. Ainsi, le destin de l’univers ne dépend que du paramètre de courbure, et nullement des densités de matière et de rayonnement.

La paramètre de densité[modifier | modifier le wikicode]

Les cosmologistes utilisent souvent le rapport entre la densité mesurée expérimentalement et la densité critique, ce rapport étant appelé le paramètre de densité. Celui-ci vaut, par définition :

La densité critique vaut . En injectant dans l'équation précédente, on trouve :

Détermination de la courbure[modifier | modifier le wikicode]

Cette équation permet de déterminer la courbure de l'univers à partir du paramètre de densité. En effet, une fois le paramètre de densité connu, on peut alors en déduire quelle est la courbure via quelques manipulations algébriques sur l'équation précédente.

Pour cela, on part de l'équation de Friedmann sous cette forme :

On isole dans le terme de gauche :

On injecte dans l'équation , ce qui donne :

Quelques manipulations algébriques donnent :

Cette équation nous donne une interprétation du paramètre de courbure. Si celui-ci est égal à 1, la courbure de l'univers est nulle et la densité de l'univers est égale à la densité critique. Si il est positif, la densité de courbure est légèrement positive et réciproquement pour un paramètre de densité négatif. Le paramètre de densité peut se mesurer indirectement, via diverses observations astronomiques. On peut en effet mesurer avec précision le facteur de Hubble, ainsi que la densité de l'univers.

Évolution de l'univers

A l'heure actuelle, il semblerait que la courbure soit nulle, ou tout du moins tellement faible qu'on peut la considérer comme nulle. Toutes les mesures, réalisées par les satellites WMAP et Planck donnent bien une valeur quasiment nulle, aux imprécisions expérimentales près. Les mesures les plus récentes, provenant du satellite Planck, nous disent qu'il y a 95% de chances pour que le paramètre de densité soit compris entre 1.0008 et −1.0029.Aussi, dans les développements mathématiques des prochains chapitres, je supposerais que la courbure est nulle.

Reformulation de la première équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de reformuler la première équation de Friedmann avec ce paramètre de courbure. Cependant, cela demande de fournir différents paramètres de densité. En effet, il ne faut pas oublier l'influence différentielle du facteur d'échelle sur la matière, l'énergie de rayonnement et la courbure. Pour cela, il faut utiliser différents paramètres de densité : un pour la matière, un autre pour le rayonnement, et un autre pour la courbure. Le premier est égal à la densité de matière divisée par la densité critique et est noté . Le second est égal à la densité de rayonnement divisée par la densité critique et est noté . Même principe pour le rapport entre densité de courbure et densité critique .