Interaction quantique/Notions élémentaires/Opérateur d'évolution/Équation intégrale/Démonstration

Il s'agit de vérifier l'équation d'évolution $i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{i})=H(t)U(t,t_{i})$ avec $H(t)=H_{0}+V(t)$ pour un opérateur vérifiant

$U(t,t_{i})=U_{0}(t,t_{i})+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{i}}^{t}d\theta \;U_{0}(t,\theta )V(\theta )U(\theta ,t_{i})$.

Sachant que

$U_{0}(t,t_{i})=e^{-iH_{0}\times (t-t_{i})/\hbar }$,

on a

$i\hbar {\frac {d}{dt}}U_{0}(t,t_{i})=H_{0}U_{0}(t,t_{i})$

et

${\begin{matrix}i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{i})&=&i\hbar {\frac {d}{dt}}U_{0}(t,t_{i})+{\frac {d}{dt}}\int _{t_{i}}^{t}d\theta \;U_{0}(t,\theta )V(\theta )U(\theta ,t_{i})\\&=&i\hbar {\frac {d}{dt}}U_{0}(t,t_{i})+{\frac {d}{dt}}\left(e^{-iH_{0}t/\hbar }\int _{t_{i}}^{t}d\theta \;e^{iH_{0}\theta /\hbar }\;V(\theta )U(\theta ,t_{i})\right)\\&=&H_{0}U_{0}(t,t_{i})+H_{0}\int _{t_{i}}^{t}d\theta \;U_{0}(t,\theta )V(\theta )U(\theta ,t_{i})+i\hbar V(t)U(t,t_{i})\\&=&H_{0}U_{0}(t,t_{i})+{\frac {1}{i\hbar }}H_{0}\int _{t_{i}}^{t}d\theta \;U_{0}(t,\theta )V(\theta )U(\theta ,t_{i})+V(t)U(t,t_{i})\\&=&H_{0}U(t,t_{i})+V(t)U(t,t_{i})\\&=&H(t)U(t,t_{i})\end{matrix}}$

c.q.f.d.

La condition supplémentaire U(t, t) est évidemment vérifiée.