Invariants intégraux/Cartan1922/001

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Pour un point matériel de masse dans un potentiel , l'action élémentaire sur un intervalle de temps est définie par

différence de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle fois l'intervalle de temps.

Soient les coordonnées orthonormales du point, les composantes de sa vitesse. L'action entre les instants et est l'intégrale

L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel entre les instants et , mais aussi sur une trajectoire infiniment voisine . On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :

La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut

Au mème instant, et pendant un intervalle de temps , on a une coordonnée qui passe de à sur une trajectoire et de à sur l'autre. On a donc , ce qui nous permet d'intégrer

Comme est supposé nul en et , il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :

Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que est nul, et que l'on a les équations de la dynamique