Invariants intégraux

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Notes de lecture des "Leçons sur les invariants intégraux", Elie Cartan, 1922.[modifier | modifier le wikicode]

Cas du point matériel libre en coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

1[modifier | modifier le wikicode]

Pour un point matériel de masse dans un potentiel , l'action élémentaire sur un intervalle de temps est définie par

différence de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle fois l'intervalle de temps.

Soient les coordonnées orthonormales du point, les composantes de sa vitesse. L'action entre les instants et est l'intégrale

L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel entre les instants et , mais aussi sur une trajectoire infiniment voisine . On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :

La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut

Au mème instant, et pendant un intervalle de temps , on a une coordonnée qui passe de à sur une trajectoire et de à sur l'autre. On a donc , ce qui nous permet d'intégrer

Comme est supposé nul en et , il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :

Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que est nul, et que l'on a les équations de la dynamique

2[modifier | modifier le wikicode]

Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire différe aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle. À la variation déja calculée, il faut rajouter le terme

ainsi que le terme

Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité est la somme de la variation de la trajectoire et de , et par suite

On peut finalement écrire

avec ou

La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à

En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme est nulle et les intégrales sur les deux courbes fermée de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales. On a

3[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné un ensemble de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, l'intégrale

étendue à une courbe fermée formée de points du tube est indépendante du choix de cette courbe, elle ne dépend que du tube. Le terme intégré est quadrivecteur énergie-impulsion .

4[modifier | modifier le wikicode]

  • invariant de Poincaré

Henri Poincaré a donné le nom d'invariant intégral à une forme restreinte de la formule précédente, ne considérant l'intégrale que sur des courbes à constant, donc sans que l'énergie intervienne :

  • action de Hamilton

L'intégration du vecteur énergie-impulsion sur une des trajectoires formant le tube conduit à remplacer par , etc. et donc l'intégrale sur cette courbe (en principe ouverte) donne

c'est à dire tout simplement l'action de Hamilton.

5[modifier | modifier le wikicode]

Le fait que soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le principe de Hamilton.

Partant d'équations différentielles quelconques

,

où les dénominateurs sont des fonctions de

Soit l'intégrale sur une courbe donnée et l'intégrale sur une courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

On calcule et idem pour les trois autres termes, donc

ou

Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour On en tire les équations du mouvement

ou
ou

idem et

6[modifier | modifier le wikicode]

Invariants intégraux/Cartan1922/006

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

7[modifier | modifier le wikicode]

Invariants intégraux/Cartan1922/007

Intégrales premières[modifier | modifier le wikicode]

28[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un système de N équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant le vecteur des N variables dépendantes et t la variable indépendante :

Une solution est appelée trajectoire du système.

Une fonction quelconque a pour différentielle

Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient

On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

Réécrivons la différentielle de f sous la forme

Pour une intégrale première, on a

Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des N formes différentielles linéaires

Réciproquement, si la différentielle de est une combinaison linéaire

des N formes, écrivant

on en déduit et , donc que est une intégrale première.

Si l'on se donne N intégrales premières indépendantes, le système linéaire

peut être inversé, c'est à dire que chaque forme est une combinaison linéaire des