Pour un point matériel de masse
dans un potentiel
,
l'action élémentaire sur un intervalle de temps
est définie par

différence de l'énergie cinétique
et de l'énergie potentielle
fois l'intervalle de temps.
Soient
les coordonnées orthonormales du point,
les composantes de sa vitesse. L'action
entre les instants
et
est l'intégrale

L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel
entre les instants
et
, mais aussi sur une trajectoire
infiniment voisine
.
On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :

La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut

Au mème instant, et pendant un intervalle de temps
, on a une coordonnée qui passe de
à
sur une trajectoire
et de
à
sur l'autre. On a donc
,
ce qui nous permet d'intégrer

Comme
est supposé nul en
et
, il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :

Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire
sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que
est nul, et que l'on a les équations de la dynamique



Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire diffère aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle.
À la variation
déjà calculée, il faut rajouter le terme

ainsi que le terme

Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité
est la somme de la variation de la trajectoire
et de
, et par suite

On peut finalement écrire

avec
ou

La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à

En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme
est nulle
et les intégrales sur les deux courbes fermées de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales.
On a

Étant donné un ensemble de trajectoires formant un tube de l'espace-temps,
l'intégrale

étendue à une courbe fermée formée de points du tube est indépendante du choix de cette courbe, elle ne dépend que du tube. Le terme intégré est quadrivecteur énergie-impulsion
.
Henri Poincaré a donné le nom d'invariant intégral à une forme restreinte de la formule
précédente, ne considérant l'intégrale que sur des courbes à
constant,
donc sans que l'énergie intervienne :

L'intégration du vecteur énergie-impulsion sur une des trajectoires formant le tube conduit à remplacer
par
, etc. et donc l'intégrale sur cette courbe
(en principe ouverte) donne

c'est à dire tout simplement l'action de Hamilton.
Le fait que
soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le
principe de Hamilton.
Partant d'équations différentielles quelconques
,
où les dénominateurs sont des fonctions de
Soit
l'intégrale sur une courbe
donnée et
l'intégrale sur une
courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

On calcule
et idem pour les trois autres termes, donc

ou

Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour
On en tire les équations du mouvement
ou 
ou 
idem
et
Invariants intégraux/Cartan1922/006
Invariants intégraux/Cartan1922/007
Considérons un système de N équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant
le vecteur des N variables dépendantes et t la variable indépendante :

Une solution
est appelée trajectoire du système.
Une fonction quelconque
a pour différentielle

Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient

On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions
qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

Réécrivons la différentielle de f sous la forme

Pour une intégrale première, on a

Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des N formes
différentielles linéaires

Réciproquement, si la différentielle de
est une combinaison linéaire

des N formes, écrivant

on en déduit
et
,
donc que
est une intégrale première.
Si l'on se donne N intégrales premières indépendantes, le système linéaire

peut être inversé, c'est à dire que chaque forme
est une combinaison linéaire des