Invariants intégraux/Cartan1922/005

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Le fait que soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le principe de Hamilton.

Partant d'équations différentielles quelconques

,

où les dénominateurs sont des fonctions de

Soit l'intégrale sur une courbe donnée et l'intégrale sur une courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

On calcule et idem pour les trois autres termes, donc

ou

Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour On en tire les équations du mouvement

ou
ou

idem et