Invariants intégraux/Cartan1922/028

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Considérons un système de N équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant le vecteur des N variables dépendantes et t la variable indépendante :

Une solution est appelée trajectoire du système.

Une fonction quelconque a pour différentielle

Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient

On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

Réécrivons la différentielle de f sous la forme

Pour une intégrale première, on a

Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des N formes différentielles linéaires

Réciproquement, si la différentielle de est une combinaison linéaire

des N formes, écrivant

on en déduit et , donc que est une intégrale première.

Si l'on se donne N intégrales premières indépendantes, le système linéaire

peut être inversé, c'est à dire que chaque forme est une combinaison linéaire des