Invariants intégraux/Cartan1922/028

Considérons un système de N équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant $\mathbf {q}$ le vecteur des N variables dépendantes et t la variable indépendante :

${\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,t)$

Une solution $\mathbf {q} =\mathbf {q} _{S}(t)$ est appelée trajectoire du système.

Une fonction quelconque $f(\mathbf {q} ,t)$ a pour différentielle

$df=\left(\nabla f\right)\cdot d\mathbf {q} +{\frac {\partial f}{\partial t}}dt$

Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient

$df=\left(\left(\nabla f\right)\cdot \mathbf {Q} +{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)dt$

On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions $u(\mathbf {q} ,t)$ qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

$\left(\nabla u\right)\cdot \mathbf {Q} +{\frac {\partial u}{\partial t}}=0$

Réécrivons la différentielle de f sous la forme

$df=\left(\nabla f\right)\cdot \left(d\mathbf {q} -\mathbf {Q} dt\right)+\left(\left(\nabla f\right)\cdot \mathbf {Q} +{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)dt$

Pour une intégrale première, on a

$du=\left(\nabla u\right)\cdot \left(d\mathbf {q} -\mathbf {Q} dt\right)$

Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des N formes différentielles linéaires

$dq_{1}-Q_{1}dt,dq_{2}-Q_{2}dt,\ldots ,dq_{N}-Q_{N}dt$

Réciproquement, si la différentielle de $v$ est une combinaison linéaire

$dv=\mathbf {c} \cdot \left(d\mathbf {q} -\mathbf {Q} dt\right)$

des N formes, écrivant

$dv=\left(\nabla v\right)\cdot d\mathbf {q} +{\frac {\partial v}{\partial t}}dt$

on en déduit $\mathbf {c} =\nabla v$ et $\left(\nabla v\right)\cdot \mathbf {Q} +{\frac {\partial u}{\partial t}}=0$, donc que $v$ est une intégrale première.

Si l'on se donne N intégrales premières indépendantes, le système linéaire

$du_{j}=\left(\nabla u_{j}\right)\cdot \left(d\mathbf {q} -\mathbf {Q} dt\right)$

peut être inversé, c'est à dire que chaque forme $dq_{i}-Q_{i}dt$ est une combinaison linéaire des $du_{j}$