Invariants intégraux/Cartan1922/002

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Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire diffère aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle. À la variation déjà calculée, il faut rajouter le terme

ainsi que le terme

Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité est la somme de la variation de la trajectoire et de , et par suite

On peut finalement écrire

avec ou

La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à

En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme est nulle et les intégrales sur les deux courbes fermées de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales. On a