La politique monétaire/Le canal de substitution intertemporelle

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On a vu il y a quelques chapitres que la courbe IS s'explique bien par l'influence des taux réels sur l'investissement, influence qui porte le nom de canal des taux d'intérêts. Cela nous a amené à étudier la courbe IS keynésienne. Mais le canal des taux d'intérêt classique n'est pas la seule explication de la courbe IS. Il existe de nombreux autres mécanismes complémentaires qui font que les taux agissent sur la production. Dans ce chapitre, ainsi que les suivants, nous allons voir les différents canaux de transmission, qui sont à l'origine de la courbe IS. Le canal que nous allons voir dans ce chapitre est le canal de substitution intemporel. Il se base sur des fondements plus microéconomiques, qui ont trait au comportement des agents économiques face au variations de taux. Dans ce chapitre, nous allons étudier le comportement de consommation des agents économiques et allons donc faire quelques rappels sur les théories de la consommation. Nous allons dépasser la simple fonction de consommation keynésienne vue il y a quelques chapitres, à savoir , pour la remplacer par une version plus élaborée, tirée de fondements microéconomiques. En principe, les agents économiques arbitrent épargne et consommation : soit ils consomment maintenant, soit ils reportent leur consommation à plus tard (et épargnent leur argent en attendant). Pour le dire autrement, l'épargne est de la consommation différée.

Les deux axiomes du modèle[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons utiliser le formalisme principal de la microéconomie : les fonctions d'utilité. Le sujet étant quelque peu compliqué, il est possible de passer cette section. Les développements précédents sont en effet suffisants pour le commun des mortels. Pour résumer rapidement, les fonctions d'utilité permettent de représenter mathématiquement les préférences, le fait que tel agent préfère tel choix à tel autre. Rien n'est supposée sur l'origine de ces choix, la formalisme se bornant à décrire les préférences des agents économiques. Pour faire simple, chaque choix se voit attribuer un nombre, appelé l'utilité. Plus l'utilité est importante, plus ce choix sera préférable pour l'agent économique. Ainsi, si deux choix sont en concurrence, celui dont l'utilité est la plus forte sera choisit par l'agent économique. Les microéconomistes ajoutent quelques contraintes sur cette utilité : les utilités peuvent toujours être comparées entre deux choix, les préférences sont transitives, l'ajout d'options alternatives ne change pas les préférences déjà établies avant l'ajout, etc. L'agent économique cherche à maximiser l'utilité de ses choix, bien évidemment. Il va de soit que si vous voulez en savoir plus, vous pouvez lire l'article wikipédia sur l'utilité, disponible ici : article wikipédia sur les fonctions d'utilité.

La consommation (rappels)[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons volontairement éluder l'existence de l'investissement et des dépenses gouvernementales pour étudier l'impact des taux sur la consommation. Cela suppose que les agents économiques ne gardent de la monnaie que dans l'optique de la dépenser. Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que le temps s'écoule par pas de temps. L'agent économique reçoit un revenu à chaque pas de temps, et dépense en consommation la quantité d'argent . Si l'agent dépense tout son revenu, on a alors : . On pourrait croire que cela signifie que l'agent souhaite maximiser sa consommation présente. Mais dans les faits, peu d'agents économiques se comportent ainsi : les agents économiques prennent en compte l'avenir. Plus précisément, les ménages souhaitent lisser leur consommation moyenne au cours de leur vie, à savoir qu'ils cherchent à limiter les fortes chutes ou fortes baisses de consommation au cours de leur existence par le biais de l'emprunt ou de l'épargne. Dans cette optique, l’épargne est considérée comme de la consommation différée, tandis que l'emprunt est de la consommation anticipée. Épargner une somme signifie se priver de la consommation qu'elle représente, pour en profiter plus tard dans le temps. L'emprunt est l'exact inverse : la somme empruntée est dépensée tout de suite, mais le remboursement du crédit sera autant de consommation future en moins. Ce lissage de la consommation n'est cependant pas parfait et peu de ménages souhaitent avoir une consommation uniforme au cours de leur vie. Pour décrire ce comportement, les économistes ont été obligés d'introduire certaines notions pour rendre compte de ces raisons. Ces notions ne sont autre que la préférence pour le présent et le taux d'élasticité intertemporel, des termes barbares qui cachent pourtant des concepts simples, intuitifs.

Une présentation plus détaillée,très claire et très pédagogique de ces concepts est disponible via ce lien : Taux de préférence pour le présent, élasticité de substitution intertemporelle et joies de l’optimisation dynamique

Introduisons le premier concept, qui est l'élasticité de substitution intertemporelle. Celui dit que les agents ne considèrent pas chaque unité de consommation comme équivalente. Intuitivement, un euro de consommation a bien plus de valeur pour quelqu'un de très pauvre que pour un agent très riche. On peut résumer cela en disant que la valeur d'une unité de consommation diminue de plus en plus avec la consommation. C'est ainsi : quelqu'un qui ne peut consomme que 500 euros par mois attribuera plus de valeur à une dépense de 100 euros que quelqu'un qui peut se permettre de dépenser 5000 euros pas mois. Pour modéliser cela, nous allons attribuer à la consommation une utilité subjective , qui représente grossièrement la valeur subjective attribuée à la consommation totale. Naturellement, la fonction est croissante, ce qui traduit le fait que chaque unité de consommation augmente l'utilité. Pour rendre compte du fait que chaque unité de consommation supplémentaire a moins de valeur que les précédentes, la fonction doit être de forme concave. Cela rend bien compte du fait que les agents souhaitent lisser leur consommation dans le temps. Ces deux conditions se formulent mathématiquement avec les dérivées de la fonction d'utilité :

Cependant, le lissage de la consommation est rarement total. Les agents économiques ne donnent pas le même poids à la consommation différée et à la consommation immédiate : certains préféreront dépenser tout de suite plutôt que d'épargner, tandis que d'autres seront dans le cas inverse. Il s'agit en quelque sorte d'un phénomène de préférence pour le présent. Mathématiquement, cela veut dire que l'utilité de la consommation diminue dans le temps. Par exemple, l'utilité d'une consommation immédiate sera plus forte que l'utilité de la consommation future. De même, l'utilité de consommer dans 5 ans est supérieure à l'utilité de consommer dans 10 ans, et ainsi de suite. On peut rendre compte de cela en faisant qu'à chaque pas de temps, l'utilité de la consommation soit multipliée par un coefficient , compris entre 0 et 1. On peut poser la définition suivante : , où p est le coefficient de préférence pour le présent.

Le but des agents économiques est de maximiser, non pas la consommation, mais l'utilité totale de la consommation. Ce faisant, ils vont naturellement lisser leur consommation dans le temps, tout en ayant une certaine préférence pour la consommation actuelle. Leur objectif est donc de maximiser :

La contrainte de budget[modifier | modifier le wikicode]

Il faut ensuite ajouter la dernière brique du puzzle pour obtenir le modèle complet : la contrainte de budget. Celle-ci donne les limites à la consommation de l'agent compte tenu de son revenu. Dans ce qui va suivre, nous allons considérer que le présent correspond à la période où et que l'agent vit durant années. Le cas où est fini est parfois plus compliqué à traiter mathématiquement, contrairement au cas où . Ce qui fait que nous allons supposer, pour simplifier les calculs, que les agents vivent indéfiniment. C'est clairement une hypothèse irréaliste, mais qui donne des résultats assez faciles à comprendre. Relaxer cette hypothèse demanderait d'étudier des modèles de type OLG (à génération imbriquées), bien plus compliqués à comprendre et hors de portée de ce cours.

Pour commencer, nous allons nous contenter d'une contrainte simple : au cours du temps qu'il lui reste à vivre, l'agent ne peut dépenser plus que ce qu'il gagne, épargne mise de coté. En clair, sa consommation totale au cours de sa vie est la somme la somme de son épargne initiale et de ses revenus (présents et futurs). Cependant, cette contrainte vaut sur l'ensemble de sa vie. Par exemple, l'agent peut parfaitement consommer moins que ce qu'il gagne : cela lui permet d'épargner une partie de son argent. De même, il peut consommer plus que ce qu'il gagne à un instant t, mais ce sera en puisant dans son épargne ou au prix d'un emprunt à rembourser plus tard. Mais dans tous les cas, l'argent épargné à un instant t sera consommé plus tard, à un instant t+x. Même chose pour un emprunt à l'instant t, qui sera remboursé en tout ou partie à l'instant t+1, t+2, t+3, etc. On pourrait croire que cette contrainte s'écrit comme suit, avec A l'épargne, Y le revenu et C la consommation :

Sauf que cette équation a quelques problèmes. Déjà, les valeurs futures de la consommation et du revenu ne sont pas certains, et doivent être anticipées par l'agent économique. Notons quadn même que l'agent connait sa consommation et son revenu présent. L'équation doit se reformuler comme suit :

Ensuite, il faut prendre en compte le coût de l'emprunt et les intérêts sur l'épargne. Pour cela, il faut prendre en compte l'évolution de la valeur de l'argent au cours du temps. Souvenez-vous du chapitre sur le canal des prix d'actif : nous avions déjà utilisé un outil permettant de comparer les valeurs futures et actuelles d'une somme d'argent. Il s'agissait des valeurs actualisées, que nous avions appliquées sur des prix de coupons. Pour rappel, la valeur actualisée d'une somme d'argent est pondérée par le taux d'intérêt. Si on note la valeur actualisée de la valeur , on a :

Dans l'équation précédente, on peut prendre en compte facilement l'écoulement du temps sur la valeur des emprunts et de l'épargne. Il suffit d'utiliser les valeurs actualisées pour la consommation et le revenu. Ce faisant, on prend en compte naturellement l'emprunt et l'épargne dans le processus. Pour simplifier, nous allons supposer que le taux d'intérêt d'actualisation est le même pour les crédits et l'emprunt. De plus, ce taux est égal au taux réel. On doit donc reformuler la contrainte de manière à ce que les sommes pour la consommation et le revenu soient les sommes des valeurs actualisées. On a alors une contrainte de budget qui se formule de la manière suivante. Vous remarquerez que l'épargne initiale n'est pas touchée par l'usage de valeurs actualisées. Si elle est rémunérée par des intérêts, le calcul des valeurs actualisées divise par (1 + r) à chaque période. En conséquence, la rémunération de l'épargne initiale est compensée par l'usage de valeurs actualisées.

On peut reformuler l'équation précédente comme suit, afin de pouvoir l'utiliser dans la suite du chapitre. L'équation obtenue définit la contrainte que doit respecter l'agent économique lorsqu'il maximise l'utilité de consommation.

Le cas simplifié à deux périodes[modifier | modifier le wikicode]

A partir des deux équations de la section précédente, à savoir la fonction d'utilité et la contrainte de budget, on peut déterminer une équation appelée équation d'Euler de la consommation. Celle-ci nous permettra de déduire une nouvelle forme de la courbe IS, qui décrira convenablement le canal de substitution intertemporelle. On pourra alors étudier ce qui se passe quand les taux d'intérêt varient, et en quoi ils impactent la consommation et l'épargne, ainsi que l'arbitrage des agents économiques. Dans ce qui va suivre, nous allons nous concentrer sur deux périodes, ce qui suffit largement pour notre analyse et n'en change pas les résultats.

La contrainte de budget[modifier | modifier le wikicode]

Afin de simplifier l'analyse, nous allons d'abord étudier le cas à deux périodes. Nous allons nous limiter à un cas simple, où l'agent ne dispose pas de patrimoine en première période. Lors de la première période, l'agent consomme une quantité et épargne le reste de son revenu.

Lors de la seconde période, l'agent dépense tout son argent, à savoir son revenu et son épargne.

En réarrangeant les termes, on a :

En combinant cette équation avec la première, on a :

Développons et faisons passer de l'autre coté :

A l'instant t, l'agent ne connait pas sa consommation future lors de la période suivante, pas plus que son revenu futur. Il doit donc les anticiper, ce qui fait que les valeurs indicées avec t+1 sont en réalité les valeurs anticipées par l'agent. L'équation plus haut devient alors :

Contrainte de budget pour deux périodes.

On peut représenter cette équation sur un graphe, dans lequel l'abscisse est et l'ordonnée . Le résultat est illustré ci-contre. On voit que la contrainte de budget forme une droite penchée vers la droite. La pente de cette droite n'est autre que . Toute augmentation du revenu de l'agent pousse cete droite vers la droite, alors qu'une baisse des revenu la déplace vers la gauche.


Démonstration

Pour démontrer que la droite a une pente de , reprenons l'équation précédente et posons que le terme de droite est constant. On a alors :

Quelques manipulations algébriques donnent alors une relation entre et  :

En posant , on a alors :

Ce qui est une fonction affine, donc une droite de pente .

L'intersection de la droite de budget et de la courbe d'utilité[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, passons à l'équation suivante :

Cette équation demande de préciser deux paramètres : : et : . Il existe de nombreuses paires ( , ) qui donnent la même utilité. L'agent ayant la même utilité pour chaque paire possible, il est totalement indifférent quant au choix de la paire. A ses yeux, elles sont toutes équivalentes et peu importe la quelle est choisie. Maintenant, si toutes les paires se valent en terme d'utilité, certaines ne sont pas compatibles avec la droite de budget. Pour comprendre quelle paire l'agent doit choisir, on doit représenter graphiquement ces paires et les confronter à la droite de budget. Pour cela, on va devoir prendre une utilité quelconque, égale à une valeur X choisie arbitrairement, et en déduire toutes les paires qui donnent cette utilité. L'ensemble des paires forme une courbe concave, appelée courbe d’indifférence.

Équation d'Euler de la consommation : droites de budget et d'utilité.

Si on met les deux équations précédentes sur un graphique, on doit obtenir le schéma suivant où la courbe verte donne l'équation de l'utilité, l'autre courbe étant celle de la contrainte de budget. Si on prend un cas quelconque, il y a alors entre 0 et 2 points d'intersection. Il n'y en a aucun si la courbe d'indifférence est trop éloignée de la droite de budget, au point de ne pas la couper. Cela signifie alors qu'il n'y a pas de combinaison possible qui donne cette utilité. L'agent aura beau épargner ou dépenser de manière optimale, il n'a pas assez de revenus pour obtenir cette utilité. Le cas avec deux points d'intersection est un cas où l'agent peut mieux faire. En augmentant l'utilité, on va déplacer la courbe vers la droite et vers le haut, tout en conservant l’existence d'au moins un point d'intersection. Ce nouveau point d’intersection donne une consommation plus élevée, ce qui est le but recherché par l'agent. Le cas idéal est celui avec un seul point d'intersection : le moindre déplacement donne soit une diminution de l'utilité avec apparition de deux possibilités ( , ), soit une impossibilité par incompatibilité avec la droite de budget. Pour résumer, le cas avec un point d'intersection unique est celui qui optimise au maximum l'utilité, tout en respectant la contrainte de budget. Reste à trouver les coordonnées de ce point.

Maximisation de l'utilité[modifier | modifier le wikicode]

Cas idéal pour l'intersection des droites de budget et d'utilité.

Par définition, ce point d'intersection maximise l'utilité possible. En ce point, la courbe d'indifférence et la droite de budget ne font pas que ce croiser : elles sont tangentes l'une de l'autre. Dit autrement, la dérivée de l'utilité est égale à la pente de la droite de budget en ce point. Les pentes des deux courbes sont égales par définition à pour la droite de budget et à pour la courbe d'indifférence. On a donc :

Quelques manipulations algébriques donnent alors :

Le terme de droite a pour défaut de ne pas être connu à l'instant . Ce faisant, les agents doivent en donner une valeur estimée à partir des informations dont ils disposent. C'est cette valeur anticipée qui est utilisée par les agents, et qui prend alors la place du terme de droite. En reformulant, on trouve l'équation d'Euler de la consommation :

}}

On peut aussi calculer les coordonnées où ces deux pentes s'égalisent avec le raisonnement suivant.


Démonstration

La fonction d'utilité est maximisée quand sa dérivée s'annule, ce qui donne :

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, ce qui donne :

Appliquons la formule  :

Reformulons :

On calcule la valeur de à partir de la contrainte, et on injecte le résultat dans l'équation d'utilité, ce qui donne :

Ce qui donne :

On peut alors faire le remplacement :

Quelques remaniements nous donnent :

Le terme de droite a pour défaut de ne pas être connu à l'instant . Ce faisant, les agents doivent en donner une valeur estimée à partir des informations dont ils disposent. C'est cette valeur anticipée qui est utilisée par les agents, et qui prend alors la place du terme de droite. En reformulant, on trouve l'équation d'Euler de la consommation :

L'impact d'une variation des taux réels[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant que le point d'équilibre est connu, nous allons étudier ce qui se passe quand le tau réel augmente ou baisse. Rappelons que le taux d'intérêt réel est le prix à payer pour inciter un agent à retarder sa consommation. Des taux forts permettent de rémunérer fortement l'épargne et donc de la rendre plus rentable que la consommation immédiate. Une hausse des taux entraînera une hausse des rendements de l'épargne, rendant celle-ci plus attractive (et inversement pour une baisse des taux). Les agents économiques décideront donc de se priver d'une part de consommation immédiate pour l'épargner (et inversement, une baisse des taux entraînera une dés-épargne et de la consommation), préférant la rémunération de l'épargne à une satisfaction immédiate. Dit dans le langage des économistes, le taux d'intérêt est un coût d'opportunité, la rémunération que les agents doivent recevoir pour épargner leur argent. Plus ce prix est élevé, plus l'incitation à l'épargne est importante aux dépens de la consommation. Cet effet de substitution entre monnaie et actifs, explique la forme de la courbe IS : un faible taux stimule la dépense, et donc le PIB, tandis qu'un fort taux incite à épargner, réduisant d'autant le PIB.

Cependant, cet effet de substitution est secondé par un effet de revenu, non pris en compte dans les calculs qui vont suivre. Celui-ci tient à ce que de forts taux impliquent de gros intérêts. Un ménage qui souhaite épargner une certaine somme cible, pour sa retraite par exemple, devra épargner plus avec un taux faible, comparé à ce qu'elle aurait dû épargner avec un taux plus fort. Les revenus d'épargne futurs augmentant avec les taux, le revenu futur augmente, poussant l'épargnant à consommer maintenant au lieu d'épargner. Cet effet de revenu est important dans quelques pays, dont les États-Unis, où les ménages doivent épargner pour leur retraite (du fait de l'absence de protection sociale développée). Dans les pays européens, ces effets semblent plus faibles. Les économistes ont tendance à négliger l'effet de revenu et ne considèrent que l'effet de substitution dans la construction de la courbe IS.

L'influence de ces deux effets varie fortement suivant que le ménage est emprunteur ou épargnant. Trois cas se présentent : le cas d'un emprunteur, celui d'un épargnant et celui d'un agent qui n'épargne ni n'emprunte. Bref, toujours est-il que l'effet de substitution apparait pour tous les agents économiques, qu'ils soient emprunteurs ou épargnant. Par contre, l'effet de revenu n'apparait que pour les épargnants, seuls à avoir des sous de coté. On peut s'en rendre compte en étudiant le graphe précédent assez simplement, en regardant la position sur le graphe du point d'intersection. Les variations du taux réels vont naturellement modifier la pente de la droite de budget, dont je rappelle que la pente est de (1 + r). Une hausse des taux va rendre la droite de budget plus pentue, alors qu'une baisse va la rendre moins pentue, plus plate. De plus, la droite va partir de plus haut suite à une hausse des taux et de plus bas en cas de baisse. Pour résumer, la droite de budget subit une rotation horaire/anti-horaire selon la situation. Dans ce qui va suivre, nous allons étudier le cas d'une hausse des taux, le cas d'une baisse s'en déduisant facilement, les raisonnements étant les mêmes. Les emprunteurs sont ceux dont les revenus actuels sont plus faibles que les revenus futurs, ceux pour lesquels le point d'intersection est situé vers la droite. Par contre, les épargnants sont ceux pour lesquels la consommation future est plus grande que l'actuelle, ce qui fait que le point d'intersection est situé plus à gauche. Les deux cas sont illustrés ci-dessous. On voit qu'une hausse du revenu entraine une baisse de la consommation pour un emprunteur, alors que l'effet est variable pour les épargnants (tout dépend comment tourne la droite de budget).

Cas d'un emprunteur.
Cas d'un épargnant.

L'équation d'Euler de la consommation : le cas général[modifier | modifier le wikicode]

L'équation précédente a été dérivée à partir d'un cas particulier. Le cas général est décrit par deux équations un peu plus complexes, qui sont les suivantes :

En utilisant faisant des calculs assez laborieux, on peut montrer que le cas particulier précédent donne le même résultat que le cas général.

Pour aller plus loin, il nous faudrait connaitre la fonction d'utilité elle-même. Pour cela, nous pouvons faire quelques suppositions raisonnables sur ses propriétés. On a dit plus haut que l'utilité croit avec la consommation : plus la consommation est importante, plus l'utilité dérivée de cette consommation le serait aussi. On a aussi dit que l'utilité doit avoir des rendements décroissants : plus la consommation augmente, plus l'utilité augmente lentement. Dit autrement, l'utilité augmente moins vite que la consommation dont elle dérive. Dans ce qui va suivre, nous allons voir ce qui passe pour quelques fonctions d'utilité particulières, choisies assez arbitrairement, pour voir lesquelles permettent d'expliquer certains faits économiques (comme l'épargne de précaution ou la courbe IS).

Avec une fonction d'utilité quadratique[modifier | modifier le wikicode]

L'équation d'Euler a été utilisée par Hall, en 1971, dans un de ses article qui lui a valu la renommée. A partir de celle-ci, il a montré qu'avec certaines fonctions d'utilité, la consommation suit une sorte de marche aléatoire. Pour cela, il faut que la fonction d'utilité est quadratique, à savoir un polynôme du second degré de la forme :

Pour commencer, on peut supprimer le terme constant c : on voit mal comment une consommation nulle pourrait avoir la moindre utilité. Pour respecter les contraintes précédentes sur la dérivée première et seconde, le terme de second degré doit être négatif. Le tout donne l'utilité, ainsi que ses dérivées premières et secondes, suivantes :

Ces fonctions d'utilité, bien que très utilisées dans un but pédagogique, on cependant des propriétés qui posent quelques problèmes théoriques et empiriques. Par exemple, ces fonctions s'annulent pour une consommation trop grande, ce qui fait qu'elles donnent une consommation maximale, au-delà de laquelle l'utilité de la consommation ne fait que descendre ! Chose qui heurte suffisamment l'intuition pour être considéré comme irréaliste. Un autre gros problème est que sa dérivée troisième est nulle : ., ce qui ne permet pas de rendre compte de phénomènes comme l'épargne de précaution.

Pour simplifier, il étudia le cas où le taux réel et le taux de préférence pour le présent sont égaux : , ce qui donne . Cette hypothèse permet de simplifier l'équation d'Euler, qui devient :

En injectant la dérivée première dans l'équation d'Euler, on trouve :

Ce qui se simplifie en :

Et vu que l'équation d'Euler tient en permanence, on a :

On voit que la consommation à un instant t est strictement égale à la consommation future anticipée. Hall postula alors que les agents forgent des anticipations rationnelles, ce qui fait que leur consommation anticipée est imprédictible. Si aucun évènement imprévu n'a lieu, alors la consommation reste stable. Pour que la consommation évolue, il faut que surviennent des évènements imprévus sur la base des informations disponibles. En clair : la consommation suit une sorte de marche aléatoire. Dans ce cas, on a alors :

En clair : les agents lissent parfaitement leur consommation dans le temps. Ils ne cherchent pas à consommer plus maintenant que plus tard, mais tentent de véritablement répartir leurs dépenses sur l'ensemble de leur vie. Ce qui va nous mener au point suivant. Mais précisons cependant que dans la réalité, les agents ne tentent pas de lisser parfaitement leur consommation dans le temps, pour tout un tas de raisons assez différentes les unes des autres. Le résultat obtenu avec les fonctions quadratiques est un cas particulier, qui est surtout utilisé pour mettre en avant le fait que les agents lissent leur consommation dans le temps. Ce n'est pas une vérité absolue, un cas extrême irréaliste présenté pour rende saillant un phénomène plus discret.

L'hypothèse du revenu permanent de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, partons de la contrainte de budget vue au-dessus, en négligeant l'épargne :

Injectons dedans l'équation obtenue plus haut, à savoir : . On a alors :

Ce qui se simplifie en :

On peut alors en déduire la consommation avec quelques manipulations algébriques. Pour commencer, étant constant, on peut le sortir de la somme, ce qui donne :

On peut ensuite utiliser la formule d'une série géométrique pour calculer : , ce qui donne : . En faisant le remplacement, on a alors :

On voit donc que la consommation des ménages dépend essentiellement de la moyenne pondérée des revenus futurs. Friedmann appelait cette moyenne le revenu permanent, par opposition aux déviations temporaires à cette moyenne, qui sont un revenu transitoire. Les revenus transitoires n'ont pas d'influence sur la consommation, comme le montre l'équation précédente. Ce qui fait qu'ils sont systématiquement épargnés. E contrario, une augmentation du revenu permanent va forcer l'agent à revoir ses anticipations de revenu futur. Il va alors modifier sa consommation en conséquence.

Cette théorie a quelques conséquences assez particulières. Notamment, elle dit que les politiques de relance fiscale sont inutiles : les agents savent que les revenus provenant d'une politique de relance fiscale ou d'une hausse des dépenses sont temporaires. Ce faisant, l'argent dépensé par l'état ou les baisses d'impôts sont épargnées par les agents et ne servent pas à relancer l'économie (si on met de coté le canal des taux d'intérêt qui induit une hausse de l'investissement). Tout se passe comme si les agents comprenaient que la relance d'aujourd'hui, financée par le déficit public, devra être remboursée un jour par une hausse des impôts. La dépense fiscale actuelle étant l'impôt de demain, les agents anticipent une future baisse des revenu qui compense aujourd'hui la relance fiscale. Ce faisant, les agents épargnent la somme qu'ils reçoivent des impôts pour payer les impôts futurs. Ce résultat est aussi connu sous le nom d'équivalence ricardienne.

L'effet de revenu[modifier | modifier le wikicode]

Les développements précédents ont volontairement mis de coté l'épargne des agents à l'instant t. Si on la prend en compte, l'équation de la contrainte de budget devient, avec l'équation  :

On peut alors en déduire la consommation avec les mêmes manipulations algébriques que dans la section précédente. On trouve alors :

On voit que la consommation dépend alors non seulement du revenu permanent, mais aussi de la valeur des actifs. Cette constatation est la base de l'effet de revenu que nous avons vu il y a quelques chapitres. Celui-ci dit que quand la valeur des actifs d'un ménage augmente, celui-ci augmente sa consommation. Et réciproquement quand la valeur des actifs diminue.

Avec une fonction d'utilité de type CRRA[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction souvent utilisée dans la littérature, est la suivante :

Sa dérivée est de :

En injectant dans l'équation d'Euler, on a :

Simplifions par  :

Le taux réel de la banque centrale (taux sans risque)[modifier | modifier le wikicode]

Cette équation permet de déterminer le taux sans risque, à savoir le taux décidé par la banque centrale. Pour cela, prenons l'équation précédente et reformulons-là comme suit, en divisant par :  :

Le terme de gauche se simplifie :

L'équation précédente se reformule en multipliant par 1 + p :

On voit que le taux réel sans risque dépend de plusieurs paramètres.

  • L'impatience des agents, à savoir leur préférence pour le présent , impacte directement le taux réel. Plus les ménages sont impatients (p élevé), plus le taux réel sera élevé. Cela se comprendre comme suit : plus les agents sont impatients, plus il faut fixer un taux réel élevé pour les inciter à épargner. Des taux trop faibles ne fournissent pas une incitation suffisante pour que les agents réduisent leur consommation au profit de l'épargne.
  • Ensuite, les taux réels sont élevés quand la consommation croit rapidement dans le temps, en raison de l'influence du terme : .
  • Enfin, le paramètre est la sensibilité des agents à la croissance de la consommation. On a vu qu'il signifie à quel point la fonction d'utilité est courbée, convexe. Plus elle l'est, plus ce paramètre est fort. Les agents souhaitent alors lisser fortement leur consommation dans le temps. Les variations des taux réels sans risque n'ont alors que peu d'impact sur la consommation et il faut une forte variation des taux pour les faire changer leur consommation actuelle.

La courbe IS new-keynesian log-linéarisée[modifier | modifier le wikicode]

Repartons de l'équation suivante :

Pour simplifier les calculs qui vont suivre, nous allons prendre le logarithme des deux termes, et faire tous les calculs avec des logarithmes : on dit qu'on log-linéarise l'équation.

Vu que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, on a :

Pour le terme tout à droite, on utilise la formule  :

On utilise alors l'approximation suivante : et allons négliger le paramètre , ce qui donne :

Maintenant, nous allons considérer que la consommation et le PIB sont égaux, ce qui donne :

Le logarithme du PIB sera noté  : et . De manière générale, toutes les valeurs log-linéarisées seront écrites en minuscules dans le reste de ce cours. On a alors :

Il va de soit que a valeur n'est pas connue à l'instant , ce qui fait que les agents économiques doivent en former une anticipation. En notant cette anticipation du PIB à la période suivante, on a :

Il est possible de faire ressortir le PIB potentiel et le taux naturel, ce qui donne l'équation de la courbe IS new-keynesian :

En posant et , on a :

La valeur du coefficient : varie selon l'intensité de l'effet de substitution et de l'effet revenu. Si l'effet de substitution diminue, ce coefficient est négatif, et on retrouve une courbe IS décroissante habituelle. Mais si l'effet revenu domine, alors le coefficient est positif et la courbe IS est alors croissante.