Les suites et séries/Les suites numériques

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Les suites sont des outils mathématiques assez généraux, que l'on peut définir comme des suites d'objets mathématiques, placés dans un certain ordre.. Les exemples les plus simples sont de loin les suites de nombres. Les suites les plus simples sont de banales suites de nombres, comme on peut en trouver dans des tests de QI ou dans diverses énigmes mathématiques. Par exemple, ceci est une suite : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... L'exemple précédent est une suite numérique, à savoir une suite de nombres (numérique = nombre). On a bien des objets mathématiques, ici des nombres, placés dans un certain ordre. Il ne faut pas plus pour obtenir une suite !

Mais les suites numériques ne sont pas les seules : il existe de nombreux autres types de suites, comme des suites de fonctions, de polynômes, ou autres. Après tout, rien n’empêche de ranger des fonctions mathématiques dans un certain ordre, ou d'ordonner des polynômes, bref : tant que l'on met des truc mathématiques dans un certain ordre, on obtient une suite. Le terme objet mathématique est volontairement vague, l'objet mathématique en question pouvant être n'importe quoi. Les objets mathématiques d'une suite, qu'ils soient des nombres ou non, sont nommés les termes de la suite. Une suite est donc un ensemble de termes rangés dans un certain ordre.

Pour définir une suite, il faut naturellement préciser ses termes, mais pas seulement : il faut aussi préciser dans quel ordre sont rangés les objets mathématiques. Pour rendre compte de cet ordre, les termes de la suite sont numérotés dans leur ordre dans la suite. Chaque terme est associé à un nombre qui définit sa place dans la suite, ce nombre étant appelé le rang du terme dans la suite, ou encore son indice. Dans la quasi-totalité des cas, la numérotation des termes commence à partir de 1. Cette convention est intuitive : le premier terme a pour rang 1, le second est de rang 2, et ainsi de suite. Cependant, rien n’empêche de commencer à compter non à partir de 1, mais à partir d'un autre rang. Il est par exemple possible de commencer à compter les rangs à partir de 0 : cette convention est notamment très utilisée par les informaticiens, quand ils doivent manipuler des suites. Dans tous les cas, le énième terme de la suite est appelé le terme de rang . Une petite remarque au niveau des notations :

  • le terme de rang est noté  ;
  • la suite en elle-même est notée .
Exemple de suite numérique
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 2 4 8 16 32 64 ...
Exemple de suite de fonctions
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Terme ...

Les suites récurrentes et paramétrées[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que vous souhaitiez créer une suite quelconque. Pour cela, vous avez deux méthodes qui fonctionnent bien, la première donnant des suites paramètres, l'autre des suites récurrentes. Il faut noter que les deux types de suites ne sont pas mutuellement exclusifs : certaines suites sont à la fois récurrentes et paramétrées. La plupart des suites que nous allons étudier dans la suite du cours sont dans ce cas.

Les suites paramétrées[modifier | modifier le wikicode]

Les suites paramétrées sont simplement des suites définies par une fonction mathématique . En clair, construire la suite demande simplement de dire que tel rang est associé à tel terme de manière univoque. Comme exemple de suite paramètres, on peut citer la suites définie par . Celle-ci est illustrée dans le tableau ci-dessous.

La suite numérique définie par
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 4 9 16 25 36 49 ...

Comme autres exemples de suites paramétrées, nous allons prendre les suites de Riemann, des suites où chaque terme est une puissance de l'inverse d'un entier... Pour le dire plus clairement, ce sont des suites de la forme :

, avec r un coefficient appelé la raison de la suite.
suite harmonique alternée

La suite de Riemann la plus simple est la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels.

On peut modifier la suite harmonique en inversant les signes d'un terme à l'autre : on obtient alors la suite harmonique alternée.

Une autre suite de Riemann, que nous étudierons dans les chapitres suivants, est la suite de l'inverse des carrés. Elle est définie par :

Les suites récurrentes[modifier | modifier le wikicode]

Une autre méthode consiste à définir comment passer d'un terme au suivant. Dans ce cas, la suite est définie par une fonction de la forme . On voit que le cas précédent marche dans le cas où chaque terme dépend de la valeur du terme précédent. Mais on peut généraliser au cas où chaque terme dépend de plusieurs termes précédents, avec des fonctions de la forme . Ces suites sont appelées des suites récurrentes.

Ces suites sont définies par la fonction qui permet de calculer un terme en fonction des précédents, mais pas seulement ! En effet, une même fonction peut donner plusieurs suites, selon le premier terme utilisé. Par exemple, les deux suites (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) et (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...) respectent toutes deux la fonction , mais leur premier terme est différent. En plus de préciser la fonction, on doit préciser le ou les premiers termes. Comme exemple de suite récurrente, nous donnant dans le tableau ci-dessous un exemple de suite récurrente assez simple : celle définie par la fonction et le premier terme 1.

La suite numérique définie par et
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 ...

L'étude des suites paramétrées se limite souvent à trouver une expression non-récurrente (paramétrée), plus simple à manipuler. Quand cela n'est pas possible, il est intéressant d'étudier le comportement de la suite quand n devient grand, pour savoir si les termes grandissent, diminuent, si la suite se stabilise, etc.

Les propriétés d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Les suites ont divers propriétés assez simples, basées sur des définitions somme toute triviales, que nous allons décrire dans cette section. Ces propriétés ne s'expriment que chez quelques catégories de suites. Les propriétés que nous allons voir permettent de distinguer les suites bornées, croissantes, décroissantes, constantes, monotones, stationnaires, etc.

Les suites monotones et constantes[modifier | modifier le wikicode]

Les suites numériques ont souvent des propriétés que d’autres suites n’ont pas forcément, la raison étant que les nombres peuvent être ordonnés : on peut dire si un nombre est supérieur, inférieur ou égal à un autre. Cela permet donc de comparer les termes consécutifs d'une suite. Dans quelques cas, les termes consécutifs d'une suite sont les mêmes, que ce soit dès le début de la suite, ou alors au-delà d'un certain rang.

  • Si chaque terme est égal au précédent, la suite est dite constante.
  • Il existe des suites qui sont constantes au-delà d'un certain rang, mais pas avant celui-ci : on les appelle des suites stationnaires.

D'autres suites ont des termes différents : chaque terme est plus grand ou plus petit que le précédent.

  • Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang , on a : ), la suite est dite strictement croissante.
  • Dans le cas contraire, on a pour tout rang et la suite est dite strictement décroissante.
  • Si , la suite est dite décroissante.
  • Si , la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Tel est le cas de la suite définie par la relation  : la fonction est décroissante avec et croissante avec . Pour éviter de dire qu’une catégorie de suite est soit croissante, soit décroissante, on préfère dire qu’elle est monotone. A noter que certaines suites deviennent monotones au-delà d'un certain rang, mais ne le sont pas forcément avant. Ces suites sont aux suites monotones ce que les suites stationnaires sont aux suites constantes. Mais il faut avouer que ces suites sont assez rares et que nous n'aurons pas à en manipuler beaucoup dans ce cours.

Démontrer qu'une suite est croissante, décroissante ou constante[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer qu'une suite est constante, croissante ou décroissante est généralement assez facile.

  • Si une suite est croissante, pour tout rang , .
  • Si une suite décroissante, pour tout rang , .
  • Si une suite est constante, pour tout rang , , on est face à une suite constante.

Une bonne manière pour déterminer la croissance/constance/décroissance d'une suite est de calculer la différence  :

  • Elle est toujours nulle pour une suite constante.
  • Elle est toujours positive si la suite est strictement décroissante.
  • Elle est négative pour une suite strictement décroissante.
  • Son signe varie si elle n'est pas monotone.

Exemple de démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Pour vous donner un exemple type de démonstration de ce genre, nous allons prendre le cas de la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels. La voici :

Pour montrer qu'elle est décroissante, nous allons calculer , qui vaut alors :

On voit bien que la différence est positive : la suite harmonique est donc décroissante.

Les suite périodiques et ultimement périodiques[modifier | modifier le wikicode]

Une suite périodique forme un cycle, les mêmes valeurs revenant périodiquement au-delà d'un certain rang. De manière générale, une suite périodique est une suite telle que les termes forment une séquence de la forme : . Le nombre de termes répétés est appelé la période de la suite. Au fait, si une suite est (ultimement ou non) périodique de période , alors elle est aussi périodique de période , , , , ... Les suites périodiques sont définies de telle sorte que, quelque soit le rang  : . En voici quelques exemples :

  • Les suites constantes sont des suites périodiques de période 1.
  • Un autre exemple de suite périodique est la suite définie par  : , qui a une période de 2.

Les suites ultimement périodiques sont similaires aux suites périodiques, à un détail près : le début de la suite n'est pas périodique, la suite n'étant périodique qu'au-delà d'un certain rang. En voici quelques exemples

  • Les suites stationnaires (constantes au-delà d'un certain rang) sont des suites ultimement périodiques de période 1.
  • La suite de Syracuse est définie par la relation de récurrence suivante  :
Cette suite se stabilise au bout d’un certain temps : la fin de la suite sera une succession de 1, 4, 2, 1, 4, 2, etc. A l'heure actuelle, aucun mathématicien n’a réussi à démontrer que c'est le cas pour toute valeur, mais les mathématiciens ont conjecturé que c'est le cas

Les suites périodiques et quasi-périodiques sont toutes bornées. Cela parait évident à démontrer : chaque période, chaque cycle, ne renferme qu'un nombre limité de valeurs différentes ( valeurs pour être exact), ce qui est incompatible avec une suite non-bornée. Les suites périodiques sont donc bornées entre la plus grande de ces valeurs et la plus petite. Quant aux suites quasi-périodiques, elles possèdent fatalement un nombre fini de termes avant de devenir périodique, ce qui fait que le même raisonnement s'applique.

Les suites majorées, minorées et bornées[modifier | modifier le wikicode]

Illustration d'une suite bornée, qui montre bien les bornes supérieures et inférieures.

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont plus petits qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout , . La constante, plus grande que tous les termes de la suite, est appelée un majorant. On peut cependant préciser que toute suite qui a un majorant en a une infinité ! Par exemple, prenons une suite quelconque qui est majorée par 100 : elle est aussi majorée par 101, 102, 103, etc. Tous les nombres supérieurs à un majorant sont eux-même des majorants. Parmi tous ces majorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne supérieure de la suite.

Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont plus grands qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout , . La constante, plus petite que tous les termes de la suite, est appelée un minorant. Encore une fois, toute suite qui a un minorant en a une infinité : tout nombre plus petit qu'un minorant est lui-même un minorant. Parmi tous ces minorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne inférieure de la suite.

Une suite bornée est une suite qui est à la fois minorée et majorée, ce qui fait que tous les termes de la suite sont pris dans un intervalle.

Les suites finies et infinies[modifier | modifier le wikicode]

Les suites les plus simples à concevoir sont les suites finies, sous-entendu celles qui ont un nombre de termes fini, celles qui ont donc un dernier terme. Pour ces suites, le nombre de terme de la suite est appelé la longueur de la suite. Mais il existe des suites infinies, sans dernier terme, avec un nombre de termes infini. Plus précisément, il y a autant de termes qu'il y a d'entiers naturels.