Les suites et séries/Les suites numériques

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Les suites sont des outils mathématiques assez généraux, que l'on peut définir comme des suites d'objets mathématiques, placés dans un certain ordre.. Les exemples les plus simples sont de loin les suites de nombres. Les suites les plus simples sont de banales suites de nombres, comme on peut en trouver dans des tests de QI ou dans diverses énigmes mathématiques. Par exemple, ceci est une suite : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... L'exemple précédent est une suite numérique, à savoir une suite de nombres (numérique = nombre). On a bien des objets mathématiques, ici des nombres, placés dans un certain ordre. Il ne faut pas plus pour obtenir une suite !

Mais les suites numériques ne sont pas les seules : il existe de nombreux autres types de suites, comme des suites de fonctions, de polynômes, ou autres. Après tout, rien n’empêche de ranger des fonctions mathématiques dans un certain ordre, ou d'ordonner des polynômes, bref : tant que l'on met des truc mathématiques dans un certain ordre, on obtient une suite. Le terme objet mathématique est volontairement vague, l'objet mathématique en question pouvant être n'importe quoi. Les objets mathématiques d'une suite, qu'ils soient des nombres ou non, sont nommés les termes de la suite. Une suite est donc un ensemble de termes rangés dans un certain ordre.

Pour définir une suite, il faut naturellement préciser ses termes, mais pas seulement : il faut aussi préciser dans quel ordre sont rangés les objets mathématiques. Pour rendre compte de cet ordre, les termes de la suite sont numérotés dans leur ordre dans la suite. Chaque terme est associé à un nombre qui définit sa place dans la suite, ce nombre étant appelé le rang du terme dans la suite, ou encore son indice. Dans la quasi-totalité des cas, la numérotation des termes commence à partir de 1. Cette convention est intuitive : le premier terme a pour rang 1, le second est de rang 2, et ainsi de suite. Le énième terme de la suite est le terme de rang  : nous le noterons , alors que la suite en elle-même sera notée . Cependant, rien n’empêche de commencer à compter non à partir de 1, mais à partir d'un autre rang. Il est par exemple possible de commencer à compter les rangs à partir de 0 : cette convention est notamment très utilisée par les informaticiens, quand ils doivent manipuler des suites.

Exemple de suite numérique
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 2 4 8 16 32 64 ...
Exemple de suite de fonctions
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Terme ...


Les suites récurrentes et paramétrées[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que vous souhaitiez créer une suite quelconque. Pour cela, vous avez deux méthodes qui fonctionnent bien, la première donnant des suites paramètres, l'autre des suites récurrentes.

Les suites paramétrées[modifier | modifier le wikicode]

Les suites paramétrées sont simplement des suites définies par une fonction mathématique . En clair, construire la suite demande simplement de dire que tel rang est associé à tel terme de manière univoque. Comme exemple de suite paramètres, on peut citer la suites définie par . Celle-ci est illustrée dans le tableau ci-dessous.

La suite numérique définie par
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 4 9 16 25 36 49 ...

Les suites récurrentes[modifier | modifier le wikicode]

Une autre méthode consiste à définir comment passer d'un terme au suivant. Dans ce cas, la suite est définie par une fonction de la forme . On voit que le cas précédent marche dans le cas où chaque terme dépend de la valeur du terme précédent. Mais on peut généraliser au cas où chaque terme dépend de plusieurs termes précédents, avec des fonctions de la forme . Ces suites sont appelées des suites récurrentes.

Ces suites sont définies par la fonction qui permet de calculer un terme en fonction des précédents, mais pas seulement ! En effet, une même fonction peut donner plusieurs suites, selon le premier terme utilisé. Par exemple, les deux suites (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) et (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...) respectent toutes deux la fonction , mais leur premier terme est différent. En plus de préciser la fonction, on doit préciser le ou les premiers termes. Comme exemple de suite récurrente, nous donnant dans le tableau ci-dessous un exemple de suite récurrente assez simple : celle définie par la fonction et le premier terme 1.

La suite numérique définie par et
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 ...

Il faut noter que certaines suites sont à la fois récurrentes et paramétrées. Beaucoup des suites que nous allons étudier dans la suite du cours sont dans ce cas, comme nous le verrons.

Les propriétés d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Les suites ont divers propriétés assez simples, que nous allons décrire dans cette section. Celles-ci sont des propriétés assez simples, aussi je me contenterais de les mentionner, sans vraiment détailler. Mieux vaut ne pas trop passer de temps sur des définitions somme toute triviales.

La croissance et décroissance d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Les suites numériques ont souvent des propriétés que d’autres suites n’ont pas forcément, la raison étant que les nombres peuvent être ordonnés : on peut dire si un nombre est supérieur, inférieur ou égal à un autre. Cela permet donc de comparer les termes consécutifs d'une suite. A ce petit jeu, certaines suites ont un comportement assez spécial : chaque terme est plus grand ou plus petit que le précédent.

  • Si chaque terme est égal au précédent, la suite est dite constante.
  • Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang , on a : ), la suite est dite strictement croissante.
  • Dans le cas contraire, on a pour tout rang et la suite est dite strictement décroissante.
  • Si , la suite est dite décroissante.
  • Si , la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Pour éviter de dire qu’une catégorie de suite est soit croissante, soit décroissante, on préfère dire qu’elle est monotone.

Démontrer qu'une suite est croissante, décroissante ou constante[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer qu'une suite est constante, croissante ou décroissante est généralement assez facile.

  • Si une suite est croissante, pour tout rang , .
  • Si une suite décroissante, pour tout rang , .
  • Si une suite est constante, pour tout rang , , on est face à une suite constante.

Une bonne manière pour déterminer la croissance/constance/décroissance d'une suite est de calculer la différence  :

  • Elle est toujours nulle pour une suite constante.
  • Elle est toujours positive si la suite est strictement décroissante.
  • Elle est négative pour une suite strictement décroissante.
  • Son signe varie si elle n'est pas monotone.

Exemple de démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Pour vous donner un exemple type de démonstration de ce genre, nous allons prendre le cas de la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels. La voici :

Pour montrer qu'elle est décroissante, nous allons calculer , qui vaut alors :

Mettons au même dénominateur et simplifions :

On voit bien que la différence est positive : la suite harmonique est donc décroissante.

Les bornes d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont plus petits qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout , . La constante, plus grande que tous les termes de la suite, est appelée un majorant. On peut cependant préciser que toute suite qui a un majorant en a une infinité ! Par exemple, prenons une suite quelconque qui est majorée par 100 : elle est aussi majorée par 101, 102, 103, etc. Tous les nombres supérieurs à un majorant sont eux-même des majorants. Parmi tous ces majorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne supérieure de la suite.

Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont plus grands qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout , . La constante, plus petite que tous les termes de la suite, est appelée un minorant. Encore une fois, toute suite qui a un minorant en a une infinité : tout nombre plus petit qu'un minorant est lui-même un minorant. Parmi tous ces minorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne inférieure de la suite.

Une suite bornée est une suite qui est à la fois minorée et majorée, ce qui fait que tous les termes de la suite sont pris dans un intervalle.

La longueur d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Les suites les plus simples à concevoir sont les suites finies, sous-entendu celles qui ont un nombre de termes fini, celles qui ont donc un dernier terme. Mais il existe des suites qui sont infinies, sans dernier terme, avec un nombre de termes infini. Plus précisément, il y a autant de termes qu'il y a d'entiers naturels. Le nombre de terme de la suite est appelé la longueur de la suite.

Quelques exemples de suites numériques[modifier | modifier le wikicode]

Certaines suites sont assez utilisées dans de nombreux domaines, et il est important de les connaitre par cœur. Celles-ci ont des propriétés assez simples à comprendre, ce qui fait que nous allons les étudier maintenant. Celles-ci sont les fameuses suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et quelques autres.

Les suites de Riemann[modifier | modifier le wikicode]

Les suites de Riemann sont des suites où chaque terme est une puissance de l'inverse d'un entier... Pour le dire plus clairement, ce sont des suites de la forme :

Le coefficient r est appelé la raison de la suite, par analogie avec les suites géométriques.

Exemples de suites de Riemann[modifier | modifier le wikicode]

La suite de Riemann la plus simple est la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels.

suite harmonique alternée

On peut modifier la suite harmonique en inversant les signes d'un terme à l'autre : on obtient alors la suite harmonique alternée.

Une autre suite de Riemann, que nous étudierons dans les chapitres suivants, est la suite de l'inverse des carrés. Elle est définie par :

Les suites arithmétiques[modifier | modifier le wikicode]

Les suites arithmétiques sont des suites où les termes augmentent d'un pas régulier :  : on compte de 2 en 2, de 3 en 3, de 1.6 en 1.6, de 39 en 39, etc. Dit autrement, la différence entre un terme et le suivant est une constante et chaque terme s’obtient en additionnant une constante au terme précédent. Il est possible d'en obtenir deux définitions équivalentes, une paramétrée et une récurrente. Les voici :

Suite arithmétique

La constante , le pas de la suite, est appelée la raison de la suite. Elle peut avoir un signe positif ou négatif, peu importe. Le signe de la raison va cependant influencer la croissance ou décroissance de la suite.

  • Si la raison est nulle, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
  • Si la raison est positive, les termes de la suite ne cessent d'augmenter avec le rang : on dit que la suite est croissante.
  • Si la raison est négative, les termes diminuent progressivement quand le rang augmente : la suite est alors dite décroissante.

Les suites arithmétiques sont donc soit croissantes, soit décroissantes : ce sont donc, par définition, des suites monotones.

On peut faire remarquer que l'ensemble des entiers naturels (les positifs ou nuls) sont une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 0.

Les suites géométriques[modifier | modifier le wikicode]

Les suites géométriques sont assez similaires aux suites arithmétiques, la seule différence étant que l'addition est remplacée par une multiplication. Chaque terme est un multiple du précédent, ce qui fait que la suite est définie par la fonction de récurrence suivante. Il est possible d'en obtenir une autre définition équivalente, qui est récurrente. Les voici :

Suite géométrique

La constante est encore une fois appelée la raison de la suite et elle peut être aussi bien positive que négative. Contrairement aux suites arithmétiques, les suites géométriques ne sont pas forcément monotones. Et cette fois-ci, la croissance ou décroissance de la suite ne dépend pas du signe de la raison, mais de sa valeur. Dans les grandes lignes, tout dépend si la raison est négative, entre 0 et 1 ou supérieure à 1.

  • Si la raison est supérieure à 1, chaque terme sera plus grand que le précédent et la suite est croissante.
  • Si la raison est de 1, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
  • Si la raison est plus petite que 1 mais malgré tout positive, chaque terme sera plus petit que le précédent, mais reste positif : la suite est décroissante.
  • Si la raison est négative, chaque terme positif est suivi d'un négatif et réciproquement : la suite n'est pas monotone.
Sucesión geométrica función2.png Sucesión geométrica función.png

Les suites arithmético-géométriques[modifier | modifier le wikicode]

Les suites arithmético-géométriques sont des généralisations des suites géométriques et arithmétiques : elles sont en quelque sorte les deux à la fois. Chaque terme se calcule en multipliant le précédent, avant d'ajouter une autre constante. La constante par laquelle on multiplie le terme précédent est appelé la raison de la suite, alors que l'autre constante additionnée est appelée la constante additive.

On peut signaler qu'une suite arithmétique est une suite arithmético-géométrique de raison multiplicative 1, alors qu'une suite géométrique est une suite arithmético-géométrique où la constante additive nulle.

Cette expression est une expression récurrente. Obtenir l'expression paramétrée équivalente est possible, bien que plus compliqué. Pour cela, nous allons déterminer la différence entre la suite arithmético-géométrique voulue et une suite géométrique de même raison et de premier terme identique. Nous allons voir ce que cela donne sur un exemple, avant de généraliser.

Rang Suite géométrique Suite arithmético-géométrique Différence entre les deux suites
1 0
2
3
4
5
... ... ... ...
n
... ... ... ...

Le problème est que l'on ne sait pas encore calculer le terme . IL s'agit en effet d'une somme partielle, à savoir la somme de tous les termes d'une suite. Nous verrons dans deux chapitres comment calculer celle-ci, mais nous ne savons pas la calculer pour le moment. Nous allons devoir accepter que celle-ci vaut :

On a donc :

On obtient avec pas mal de manipulations algébriques :

Il est possible de démontrer cette relation autrement, bien que la démonstration soit moins intuitive. En voici une démonstration juste en-dessous.


Démonstration

Pour faire cette démonstration, nous allons tenter de nous ramener d'une suite arithmético-géométrique à une simple suite géométrique, que l'on sait traiter. Pour cela, nous allons étudier la suite définie par :

avec

On a alors :

Vu que  :

La suite est donc une suite géométrique. On a donc :

En remplaçant par sa valeur , on trouve :

CQFD !