Les suites et séries

Les suites et séries sont des outils mathématiques très utilisés dans de nombreux domaines : algèbre, analyse, statistiques et probabilités, et même en physique ou en économie. Une bonne partie des mathématiques est basée sur ces suites et séries. Sans eux, pas de dérivées ni d'intégrales, pas de fonction récurrentes, et bien d'autres. Pourtant, il s'agit d'outils mathématiques simples à comprendre et à appréhender. À tel point qu'ils sont enseignés aux élèves lors de leur enseignement secondaire. Ce cours va vous enseigner ce qu'il y a à savoir sur les suites ainsi que leurs grandes amies de toujours : les séries et sommes partielles.

Approche : Ce cours suivra une approche un peu différente des cours scolaires sur le sujet. En effet, la plupart des cours sur les suites et série introduisent très rapidement le concept de limite d'une suite, avant de passer aux séries, avec éventuellement un interlude propédeutique sur les sommes partielles entre les deux. La première version de ce wikilivre ne faisait pas exception et suivait cette approche, en abordant d'abord les limites, puis les sommes partielles, puis les séries. Ce wikilivre va cependant suivre l'approche suivante : nous parlerons d'abord des sommes partielles, avant de voir la limite d'une suite, puis de passer aux séries. L'objectif est de faire en sorte que les lecteurs puissent aller le plus loin possible dans ce cours avec des prérequis minimaux. En effet, tout ce qui a trait aux sommes partielles est accessible avec un bagage limité en mathématique, à savoir les bases de l'arithmétique et de l’algèbre. De plus, ces concepts ne demandent pas de manipuler des infinis ou de raisonner sur des suites infinies. À l'opposé, la notion de limite demande de manipuler des infiniment grands ou des infiniment petits, le formalisme est incontournable, les démonstrations moins intuitives. Aussi, l'approche de ce wikilivre fournit une entrée assez simple au domaine des suites, avant d'augmenter progressivement en complexité. Repousser ainsi le concept de limite permet aux débutants en maths, voire aux élèves de collège, d'aller assez loin dans ce cours, quitte à devoir s'arrêter à la partie 3. L'avenir dira si cette démarche est viable, à vous de juger du résultat.

Prérequis  : Les deux premières parties de ce cours sont accessibles à partir d'un niveau collège. Elles ne demandent que des bases en arithmétiques et en algèbre, sauf occasionnellement. Les deux parties suivantes sont accessibles à partir du moment où vous avez suivi une scolarité au lycée, et que vous avez une maîtrise correcte des concepts appris dans cette période de la scolarité. Dans le détail, vous devez connaître : un minimum de théorie des ensembles, avoir des bases sur les nombres réels, quelques bases de l'analyse (savoir ce qu'est une fonction, par exemple) et connaître les preuves par induction.

Sommaire

Partie 1 : Définitions et concepts basiques

• Les suites numériques
• Les opérations sur les suites

Partie 2 : Les sommes partielles

• Les sommes partielles
• La suite des entiers et ses dérivées
• La somme partielle d'une suite arithmético-géométrique
• Les suites de puissances et la formule de Faulhaber

Partie 3 : La limite d'une suite numérique

• Les limites de suites
• Les opérations sur les limites de suites
• Les suites monotones réelles
• Les sous-suites (suites extraites)
• Les suites récurrentes linéaires
• Les suites récurrentes (cas général)
• Les suites récurrentes k-contractantes
• Les suites logistiques

Partie 4 : Les séries numériques

• La convergence d'une somme partielle : les séries
• Les critères de convergence d'une série
• Les opérations sur les séries
• Les séries géométriques
• Les séries de Riemann
• Les séries alternées
• Les séries entières

Annexes

• Annexe : la vitesse de convergence d'une suite