Les suites et séries/Les opérations sur les séries

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On a vu dans le chapitre "Les opérations sur les suites", qu'il est possible d'additionner des suites entre elles, de les multiplier, les soustraire, les diviser, etc. Et les suites de sommes partielles ne font pas exception : ce sont des suites, de sommes partielles certes, mais des suites quand même. Les séries n'étant que les limites de ces sommes partielles, les théorèmes sur les limites de sommes/produit de suites s'appliquent parfaitement. Cela a des conséquences assez intéressantes, que nous allons détailler dans cette section.

Les opérations arithmétiques sur les suites[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons voir comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des séries.

La série d'une somme de suites[modifier | modifier le wikicode]

Ce résultat peut permettre de calculer la série d'une somme de suites. Il suffit de mettre et à 1 pour obtenir une somme. On a alors le résultat suivant. Soit deux séries convergentes et , alors :

Ce résultat est simplement une application du théorème sur la limite d'une somme de suites, dans le cas où la suite est une série.

La série du produit d'une suite par une constante[modifier | modifier le wikicode]

Soit une constante et une série convergente , alors :

Ce résultat est simplement une application du théorème sur le produit d'une suite par une constante, dans le cas où la suite est une série.

La série d'une combinaison linéaire de suites[modifier | modifier le wikicode]

Soit deux séries convergentes et , alors :

Ce résultat est simplement une application des deux théorèmes précédents.

La série d'un produit[modifier | modifier le wikicode]

Soit deux séries convergentes et , dont l'une des deux est absolument convergente, alors :

Ce résultat est simplement le théorème sur la limite d'un produit de suites, dans le cas où la suite est une série.

Les séries de nombres complexes[modifier | modifier le wikicode]

Les théorèmes précédents ont une application assez importante, dans le cas où la suite étudiée est une suite de nombres complexes. Prenons la suite de nombres complexes et calculons sa suite. Chaque terme est la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire : . Créons une suite qui ne comprend que la partie réelle de chaque terme, et une autre suite qui n'a que les parties imaginaires. On suppose que les deux suites convergent vers les limites respectives et . On a alors :

On voit donc que la série ne peut converger que si et convergent toutes deux.