Les suites et séries/Les opérations sur les limites de suites

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Il est intéressant de regarder quelle est la limite d'une somme de deux suites, ou de leur produit. Dans une telle condition, on peut dire si la limite de la somme converge ou diverge selon le comportement des deux suites. Pour les suites qui convergent, le résultat est plutôt simple : la limite de la somme est la somme des limites, idem pour le produit ou le quotient.. Pour deux suites et qui convergent respectivement vers et , leur somme converge vers , leur différence vers , leur produit vers et leur quotient vers . Le résultat pour les suites divergentes est assez compliqué, mais le résultat diverge dans la plupart des cas, sauf dans quelques cas où le résultat n'est pas connu qui portent le nom de formes indéterminées. Dans les tableaux qui suivent, ces formes indéterminées seront notées "F.I".

Les comparaisons entre suites[modifier | modifier le wikicode]

Le résultat d'une comparaison entre deux suites est conservée lors du passage à la limite :

  • Si , alors .
  • Si , alors .
  • Si , alors .
  • Si , alors .
  • Si , alors .

Les résultats d'opérations sur les suites[modifier | modifier le wikicode]

Voyons maintenant comment se comporte la limite lorsque l'on effectue une opération sur deux suites. Les résultats sont donnés pour des suites divergentes et convergentes notées et .

Somme de deux suites[modifier | modifier le wikicode]

Additionner deux suites donne des résultats assez différents selon les suites et . En effet, l'addition de deux suites convergentes ne donnera pas le même résultat que l'addition de deux suites divergentes, ou qu'une suite divergente avec une convergente.

Le cas le plus simple est de loin l'addition de deux suites convergentes et qui convergent respectivement vers et . Leur somme converge vers  : la limite d'une somme est égale à la somme des limites

Ce principe est cependant remis en question quand une des deux suites et diverge : la somme des suites va elle aussi diverger. Dans le cas où une des suites et n'a pas de limite, alors la somme ne peut pas avoir de limite. Le cas le plus simple à étudier est celui où la suite divergente tend vers ou . Dans ce cas, la suite diverge aussi vers , à une exception près : celui où une des suite tend vers et l'autre vers . Dans ce dernier cas, on ne sait pas si les deux infinis se compensent (donnant un zéro), ou si l'un des deux infini l'emporte sur l'autre. Le résultat de la somme ne peut donc pas être connu avec certitude, tout du moins sans techniques particulières : c'est une forme indéterminée.

(resp. )
(resp. )
FI
FI
Avec ce qui vient d'être dit, on peut démontrer que les relations suivantes sont équivalentes :
Pour le dire en mots, dire que la suite converge vers L est équivalent à dire que la suite converge vers 0.

Multiplication d'une suite par un réel[modifier | modifier le wikicode]

Le résultat du produit d'une suite avec un réel est assez trivial à établir. Tout dépend si la suite diverge ou converge :

  • Dans le cas d'une suite convergente de limite , la limite du produit a pour limite . En clair, la limite du produit est le produit des limites.
  • Dans le cas d'une suite divergente, le produit avec un réel ne change rien : la suite diverge toujours et sa "limite" reste la même si elle en a une. Une suite qui diverge vers continuera à diverger ainsi après multiplication par un réel.

Par contre, il faut faire attention quand le réel est négatif : le signe de la limite peut changer.

Produit et quotient de deux suites[modifier | modifier le wikicode]

(resp. )
(resp. )
FI FI
FI
FI
(resp. )
(resp. )
FI
FI

Les formes indéterminées[modifier | modifier le wikicode]

Les formes indéterminées surviennent quand on se retrouve devant un calcul impossible en tentant de calculer le produit ou la somme de deux limites. Par exemple, vous pouvez essayer de diviser deux suites qui divergent : vous vous retrouvez à diviser l'infini par lui-même. Le résultat est alors indéterminé et la suite quotient peut aussi bien diverger que converger ! Voici les sept formes indéterminées possibles :

Formes indéterminées

Lever l'indétermination[modifier | modifier le wikicode]

Le seul moyen de trouver la vraie valeur d'une forme indéterminée est de reformuler le calcul, en utilisant des techniques spéciales comme le changement de variable. Pour donner un exemple simple, nous allons prendre l'exemple de la suite définie par :

Les deux suites : et : divergent toutes les deux, ce qui fait que la limite est la suivante :

Une solution pour lever l'indétermination est de simplifier la fraction initiale :

On voit alors immédiatement que la suite converge vers :