Les suites et séries/Les limites de suites

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L'étude des suites porte le plus souvent sur la manière dont les termes se comportent quand le rang augmente. Par exemple, les mathématiciens ou physiciens cherchent souvent à savoir si les termes finaux d'une suite se rapprochent d'une valeur précise. Beaucoup de suites sont dans ce cas : les termes se rapprochent de plus en plus d'une valeur précise quand on augmente le rang. D'autres ne sont pas dans ce cas et voient leurs termes devenir de plus en plus grands ou petits avec le rang. C'est le cas de la suite , par exemple. Certaines suites ont un comportement encore plus étonnant : elles forment un cycle, les mêmes valeurs revenant périodiquement au-delà d'un certain rang. Un bon exemple est celui de la suite de Syracuse, définie par la relation de récurrence suivante  :

Cette suite se stabilise au bout d’un certain temps : la fin de la suite sera une succession de 1, 4, 2, 1, 4, 2, etc. A l'heure actuelle, aucun mathématicien n’a réussi à démontrer que c'est le cas pour toute valeur, mais les mathématiciens ont conjecturé que c'est le cas.

La convergence/divergence d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Comme on le voit, le comportement des termes quand on augmente le rang vers l'infini varie beaucoup selon la suite. Cette intuition peut être formalisée assez simplement par le concept de limite d'une suite. Intuitivement, on peut se retrouver dans trois cas différents :

  • Soit les termes se rapprochent, tendent, vers une valeur précise.
  • Soit les termes tendent vers une valeur infinie.
  • Soit les termes ne tendent vers aucune valeur, qu'elle soit finie ou infinie : c'est le cas par exemple de la suite 1, -1, 1, -1, 1, -1 ...

Dans le premier cas, on dit que la suite est convergente. Les deux autres cas correspondent à ce qu'on appelle une suite divergente. On voit qu'il existe deux types de suites divergentes, les premières tendent vers l'infini alors que les autres sont es suites un peu à part. Ces dernières sont appelées des suites sautantes. Elles sont définies par la condition suivante : soit a < b, la suite est dite sautante si une infinité de termes est supérieur à b () et une autre infinité est inférieur à a ().

Les suites divergentes[modifier | modifier le wikicode]

Une suite est dite divergente si ses termes finissent par devenir aussi grand que possible quand le rang augmente. Si on choisit une constante précise, aussi grande que l'on veut, alors tous les termes au-delà d'un certain rang dépasseront cette constante. Dit autrement, pour tout nombre M, il existe un rang n tel que . La suite diverge alors vers l'infini . Le cas où la suite diverge vers est similaire, si ce n'est que au-delà d'un rang n.

Les suites convergentes[modifier | modifier le wikicode]

Pour une suite qui converge, la logique est similaire au cas où la suite diverge, à quelques différences près. Pour une suite convergente, ses termes sont circonscrits dans un intervalle que l'on peut rendre aussi petit que possible quand le rang augmente. Le centre de cet intervalle est la limite de la suite. Précisément, si on choisit un nombre , aussi petit que l'on veut, alors il y a un rang au-delà duquel les termes de la suite sont tous compris dans l'intervalle .

Définition de la limite d'une suite.

On peut reformuler cette définition de la manière suivante : les suites convergentes sont bornées au-delà d'un certain rang, les bornes étant les valeurs et . Cette définition montre plus clairement que la convergence d'une suite ne dépend pas de ses premiers termes.

On peut noter que si une suite converge, sa limite est unique : une suite ne peut pas converger vers deux limites différentes en même temps. Un bon moyen de le "démontrer" est simplement d'utiliser un raisonnement par l'absurde. Pour commencer, on suppose qu'une suite (peu importe laquelle) converge vers deux suites et . Au bout d'un certain rang, on sait que tout terme la de suite sera donc compris dans les intervalles et . Évidemment, si l et l' sont différents, ces intervalles seront disjoints. Vu que chaque terme de la suite au-delà d'un certain rang ne peut pas appartenir à deux intervalles disjoints, on fait face à une contradiction.

Les critères de convergence usuels[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de suite convergente.

Établir si une suite converge ou diverge est souvent assez simple, mais peu aussi devenir particulièrement compliqué quand on ne sait pas par quel bout prendre le problème. Il existe de nombreux critères qui permettent de savoir si une suite converge ou non. Une simple analyse de la suite avec ces critères permet de déterminer si elle converge ou diverge. Ces critères sont nombreux et permettent surtout de savoir si une suite diverge, sans pour autant préciser si elle converge effectivement. D'autres permettent de comparer des suites à d'autres suites dont on sait qu'elles convergent ou divergent. Cette section va donner quelques critères de convergences usuels, simples à appliquer.

Les suites convergentes sont bornées[modifier | modifier le wikicode]

Une propriété importante des suites convergentes est qu'elles sont toutes bornées (pour rappel, cela signifie qu'elles ont un minimum et un maximum). Mais il faut faire attention à la réciproque, qui est fausse : une suite bornée n'est pas forcément convergente. Un bon contre-exemple est la suite définie par : . Celle-ci est bornée dans l'intervalle , mais elle ne converge pas. Pour résumer, les suites convergentes sont bornées. On peut donc déterminer si une suite diverge en vérifiant qu'elle est bornée. Si on démontre que ce n'est pas le cas, elle diverge. Si c'est le cas, on ne sait pas si elle diverge ou si elle converge.


Démonstration

Cette propriété n'est pas étonnante et découle directement de la définition d'une limite. Pour rappel, cette définition dit qu'il existe un rang tel que les termes de la suite sont bornés par l'intervalle :

Avant ce rang , il n'y a qu'un nombre fini de termes. Parmi ces termes, il y en a un qui est plus grand que les autres et un autre qui est plus petit que tous les autres. Notons ceux-ci max et min. Par définition, les termes de la suite avant le rang sont naturellement bornés dans l'intervalle suivant :

La suite est donc bornée avant le rang : , prendant et après : elle est donc bornée.

Les suites monotones[modifier | modifier le wikicode]

La convergence des suites monotones (qui sont soit croissantes, soit décroissantes) est assez simple à étudier : il suffit de déterminer si elles sont croissantes ou décroissantes et de vérifier si elles ont un minorant/majorant. On peut se retrouver avec quatre cas bien précis :

Croissante Décroissante
Pas de majorant (mais un minorant) Limite égale à la borne inférieure
Pas de minorant (mais un majorant) Limite égale à la borne supérieure


Démonstration

Les propriétés précédentes ne sont que des corolaires du fait que toute suite convergente est bornée. Commençons par le cas d'une suite croissante. Celle-ci est naturellement minorée par son premier terme, qui est le plus petit terme de la suite. Si la suite n'a pas de majorant, elle n'est pas bornée : elle doit donc diverger. Mais si elle a un majorant, alors elle est bornée. Vu son caractère croissant, on sait qu'il existe un rang au-delà duquel la différence avec la borne supérieure sera négligeable. Par définition de la borne supérieure, on a un rang au-delà duquel : . Dit autrement, la suite converge.

Le raisonnement pour la suite décroissante est l'exact copier-coller du raisonnement précédent, en changeant borne supérieure par borne inférieure et en intervertissant majorant et minorant.

Les suites adjacentes[modifier | modifier le wikicode]

La propriété précédente a une conséquence assez intéressante dans le cas de suites dites adjacentes. Les suites adjacentes sont deux suites et qui respectent les propriétés suivantes :

  • est croissante alors que est décroissante ;
  • pour tout rang  ;
  • .

Deux suites adjacentes ont la même limite.

Le théorème des gendarmes[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème des gendarmes permet d'encadrer une suite entre deux suites dont on sait qu'elles convergent vers la même limite : la suite encadrée converge donc. Cet encadrement est plus précisément un encadrement de chaque terme de la suite entre les termes de même rang des deux autres. Dit d'une manière plus claire, chaque terme de la suite encadré est compris entre les termes et des deux autres suites : . Si à partir d'un certain rang, l'égalité précédente est respectée pour tous les termes, on sait que la suite encadrée converge et que sa limite est la même que celle des deux autres suites.

Le critère de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

Illustration d'une suite de Cauchy.

Le critère de Cauchy permet de déterminer si une suite converge ou non, assez simplement. Ce critère permet de définir une classe de suites particulières, appelées suites de Cauchy. On peut démontrer, avec des outils mathématiques compliqués, que toute suite convergente est obligatoirement une suite de Cauchy. Pour les suites réelles, les suites de Cauchy convergent toutes, sans exception. Démontrer qu'une suite réelle est de Cauchy suffit donc pour dire qu'elle converge.

Une suite de Cauchy est une suite telle que pour deux rangs et , avec , on a :

Ce qui est équivalent à :

Il faut préciser que cette condition doit valoir pour tout a et b supérieur à n. Le fait que la condition fonctionne avec a et b convenablement choisis ne marche pas. Par exemple, prendre a et b consécutif ne donnera pas une application correcte du théorème de Cauchy. Il existe en effet des suites divergentes dont suite dont la différence entre deux termes consécutifs tend vers zéro. Ainsi, on ne peut pas dire qu'une suite est convergente si elle respecte la condition suivante :

Quelques exemples types de limites[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'enseignement secondaire et/ou universitaire, vous aurez certainement à faire des calculs de limites. Dans ces calculs, certaines limites particulières ont tendance à revenir, à être fortement utiles. Dans ce qui va suivre, nous allons voir quelques exemples classiques de limites assez courants. Nous verrons les limites des suites vues précédemment, à savoir les limites des suites harmoniques, des suites arithmétiques et géométriques, et de quelques autres suites.

Nom de la suite Formule paramétrée de la suite Limite
Suite constante
Suite identité
Suite harmonique
Suite de l'inverse des carrés
Suite arithmétique
  • Si , la suite est constante et converge vers .
  • Si , la suite est croissante et sans majorant : elle diverge vers .
  • Si , la suite est décroissante et sans minorant : elle diverge vers .
Suite géométrique
  • Si , la suite est croissante et sans majorant : elle diverge vers ou selon le signe du premier terme.
  • Si , la suite est constante et converge vers .
  • Si , la suite est décroissante et avec une borne inférieure nulle : elle converge vers .
  • Si , la suite est alternée (les termes consécutifs changent de signe) : elle n'a pas de limite.
Suite d'une puissance * Si , la suite est croissante et sans majorant : elle diverge vers .
  • Si , la suite est constante et converge vers .
  • Si , la suite est décroissante et avec une borne inférieure nulle : elle converge vers .

Démontrer les faits du tableau précédent est assez simple. Le cas des suites constantes est trivial : il suffit d'appliquer la définition. Pour les suites arithmétiques et géométriques, il suffit d'utiliser le critère sur les suites monotones, le résultat étant assez immédiat. Il faut juste prendre en compte le cas où la suite est constante ou alternée. Le cas de la suite harmonique est plus intéréssant, bien qu'une simple application de la définition d'une suite suffise à donner le résultat.

Démonstration de la limite de la suite harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Dans cette section, nous allons démontrer que la suite harmonique converge bien vers zéro. Pour cela, il suffit d'appliquer la définition de la limite d'une suite. Déjà, on sait que chaque terme de la suit ne peut être négatif : tout terme est positif ou nul : . Il ne reste plus qu'à prouver que si on choisit un aussi petit que l'on veut, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont plus petits que . Déjà, on peut remarquer que la suite est décroissante : chaque terme est plus petit que le précédent. Donc, si on trouve un rang pour lequel , alors les rangs suivants respectent aussi cette propriété. Dit autrement, on souhaite trouver tel que :

Appliquons l'équation et faisons le remplacement :

On trouve alors qu'il faut que :

Or, un tel rang existe toujours. Vu que chaque terme de la suite ne peut être négatif, mais qu'on peut les rendre aussi petits que l'on veut, tant qu'ils restent à zéro ou plus, alors la limite de la suite est nulle.