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Les suites et séries

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Sections

Les suites numériques

Les suites sont des outils mathématiques assez généraux, que l'on peut définir comme des suites d'objets mathématiques, placés dans un certain ordre.. Les exemples les plus simples sont de loin les suites de nombres. Les suites les plus simples sont de banales suites de nombres, comme on peut en trouver dans des tests de QI ou dans diverses énigmes mathématiques. Par exemple, ceci est une suite : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... L'exemple précédent est une suite numérique, à savoir une suite de nombres (numérique = nombre). On a bien des objets mathématiques, ici des nombres, placés dans un certain ordre. Il ne faut pas plus pour obtenir une suite !

Mais les suites numériques ne sont pas les seules : il existe de nombreux autres types de suites, comme des suites de fonctions, de polynômes, ou autres. Après tout, rien n’empêche de ranger des fonctions mathématiques dans un certain ordre, ou d'ordonner des polynômes, bref : tant que l'on met des truc mathématiques dans un certain ordre, on obtient une suite. Le terme objet mathématique est volontairement vague, l'objet mathématique en question pouvant être n'importe quoi. Les objets mathématiques d'une suite, qu'ils soient des nombres ou non, sont nommés les termes de la suite. Une suite est donc un ensemble de termes rangés dans un certain ordre.

Pour définir une suite, il faut naturellement préciser ses termes, mais pas seulement : il faut aussi préciser dans quel ordre sont rangés les objets mathématiques. Pour rendre compte de cet ordre, les termes de la suite sont numérotés dans leur ordre dans la suite. Chaque terme est associé à un nombre qui définit sa place dans la suite, ce nombre étant appelé le rang du terme dans la suite, ou encore son indice. Dans la quasi-totalité des cas, la numérotation des termes commence à partir de 1. Cette convention est intuitive : le premier terme a pour rang 1, le second est de rang 2, et ainsi de suite. Cependant, rien n’empêche de commencer à compter non à partir de 1, mais à partir d'un autre rang. Il est par exemple possible de commencer à compter les rangs à partir de 0 : cette convention est notamment très utilisée par les informaticiens, quand ils doivent manipuler des suites. Dans tous les cas, le énième terme de la suite est appelé le terme de rang . Une petite remarque au niveau des notations :

  • le terme de rang est noté  ;
  • la suite en elle-même est notée .
Exemple de suite numérique
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 2 4 8 16 32 64 ...
Exemple de suite de fonctions
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Terme ...

Les suites récurrentes et paramétrées[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que vous souhaitiez créer une suite quelconque. Pour cela, vous avez deux méthodes qui fonctionnent bien, la première donnant des suites paramètres, l'autre des suites récurrentes. Il faut noter que les deux types de suites ne sont pas mutuellement exclusifs : certaines suites sont à la fois récurrentes et paramétrées. La plupart des suites que nous allons étudier dans la suite du cours sont dans ce cas.

Les suites paramétrées[modifier | modifier le wikicode]

Les suites paramétrées sont simplement des suites définies par une fonction mathématique . En clair, construire la suite demande simplement de dire que tel rang est associé à tel terme de manière univoque. Comme exemple de suite paramètres, on peut citer la suites définie par . Celle-ci est illustrée dans le tableau ci-dessous.

La suite numérique définie par
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 4 9 16 25 36 49 ...

Comme autres exemples de suites paramétrées, nous allons prendre les suites de Riemann, des suites où chaque terme est une puissance de l'inverse d'un entier... Pour le dire plus clairement, ce sont des suites de la forme :

, avec r un coefficient appelé la raison de la suite.
suite harmonique alternée

La suite de Riemann la plus simple est la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels.

On peut modifier la suite harmonique en inversant les signes d'un terme à l'autre : on obtient alors la suite harmonique alternée.

Une autre suite de Riemann, que nous étudierons dans les chapitres suivants, est la suite de l'inverse des carrés. Elle est définie par :

Les suites récurrentes[modifier | modifier le wikicode]

Une autre méthode consiste à définir comment passer d'un terme au suivant. Dans ce cas, la suite est définie par une fonction de la forme . On voit que le cas précédent marche dans le cas où chaque terme dépend de la valeur du terme précédent. Mais on peut généraliser au cas où chaque terme dépend de plusieurs termes précédents, avec des fonctions de la forme . Ces suites sont appelées des suites récurrentes.

Ces suites sont définies par la fonction qui permet de calculer un terme en fonction des précédents, mais pas seulement ! En effet, une même fonction peut donner plusieurs suites, selon le premier terme utilisé. Par exemple, les deux suites (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) et (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...) respectent toutes deux la fonction , mais leur premier terme est différent. En plus de préciser la fonction, on doit préciser le ou les premiers termes. Comme exemple de suite récurrente, nous donnant dans le tableau ci-dessous un exemple de suite récurrente assez simple : celle définie par la fonction et le premier terme 1.

La suite numérique définie par et
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
Terme 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 ...

L'étude des suites paramétrées se limite souvent à trouver une expression non-récurrente (paramétrée), plus simple à manipuler. Quand cela n'est pas possible, il est intéressant d'étudier le comportement de la suite quand n devient grand, pour savoir si les termes grandissent, diminuent, si la suite se stabilise, etc.

Les propriétés d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Les suites ont divers propriétés assez simples, basées sur des définitions somme toute triviales, que nous allons décrire dans cette section. Ces propriétés sont souvent assez importantes mathématiquement et leur présence est source de beaucoup de propriétés ou de théorèmes intéressants. Pour donner un exemple simple, on peut parler de la distinction entre suite finie et infinie. Les suites finies ont un nombre de termes fini et se terminent sur un dernier terme, alors que ce n'est pas le cas des suites infinies, qui ont autant de termes qu'il y a d'entiers naturels. Cette propriété est assez simple à comprendre, mais elle est à l'origine de grandes différences : là où les suites finies possèdent très peu de propriétés mathématiques intéressantes, les suites infinies sont un sujet d'étude très riche. C'en est au point que ce cours ne parlera que des suites infinies, tant elles possèdent de propriétés supplémentaires par rapport aux suites finies ! Et d'autres propriétés simples donnent le même résultat, d'où l'importance de détailler ces propriétés. Les propriétés que nous allons voir permettent de distinguer les suites bornées, croissantes, décroissantes, constantes, monotones, stationnaires, etc.

Les suites majorées, minorées et bornées[modifier | modifier le wikicode]

Illustration d'une suite bornée, qui montre bien les bornes supérieures et inférieures.

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont plus petits qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout , . La constante, plus grande que tous les termes de la suite, est appelée un majorant. On peut cependant préciser que toute suite qui a un majorant en a une infinité ! Par exemple, prenons une suite quelconque qui est majorée par 100 : elle est aussi majorée par 101, 102, 103, etc. Tous les nombres supérieurs à un majorant sont eux-mêmes des majorants. Parmi tous ces majorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne supérieure de la suite.

Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont plus grands qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout , . La constante, plus petite que tous les termes de la suite, est appelée un minorant. Encore une fois, toute suite qui a un minorant en a une infinité : tout nombre plus petit qu'un minorant est lui-même un minorant. Parmi tous ces minorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne inférieure de la suite.

Une suite bornée est une suite qui est à la fois minorée et majorée, ce qui fait que tous les termes de la suite sont pris dans un intervalle.

Les suites monotones et constantes[modifier | modifier le wikicode]

Les suites numériques ont souvent des propriétés que d’autres suites n’ont pas forcément, la raison étant que les nombres peuvent être ordonnés : on peut dire si un nombre est supérieur, inférieur ou égal à un autre. Cela permet donc de comparer les termes consécutifs d'une suite. Dans quelques cas, les termes consécutifs d'une suite sont les mêmes, que ce soit dès le début de la suite, ou alors au-delà d'un certain rang.

  • Si chaque terme est égal au précédent, la suite est dite constante.
  • Il existe des suites qui sont constantes au-delà d'un certain rang, mais pas avant celui-ci : on les appelle des suites stationnaires.

D'autres suites ont des termes différents : chaque terme est plus grand ou plus petit que le précédent.

  • Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang , on a : ), la suite est dite strictement croissante.
  • Dans le cas contraire, on a pour tout rang et la suite est dite strictement décroissante.
  • Si , la suite est dite décroissante.
  • Si , la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Tel est le cas de la suite définie par la relation  : la fonction est décroissante avec et croissante avec . Pour éviter de dire qu’une catégorie de suite est soit croissante, soit décroissante, on préfère dire qu’elle est monotone. A noter que certaines suites deviennent monotones au-delà d'un certain rang, mais ne le sont pas forcément avant. Ces suites sont aux suites monotones ce que les suites stationnaires sont aux suites constantes. Mais il faut avouer que ces suites sont assez rares et que nous n'aurons pas à en manipuler beaucoup dans ce cours.

Les suite périodiques et ultimement périodiques[modifier | modifier le wikicode]

Une suite périodique forme un cycle, les mêmes valeurs revenant périodiquement au-delà d'un certain rang. De manière générale, une suite périodique est une suite telle que les termes forment une séquence de la forme : . Le nombre de termes répétés est appelé la période de la suite. Au fait, si une suite est (ultimement ou non) périodique de période , alors elle est aussi périodique de période , , , , ... Les suites périodiques sont définies de telle sorte que, quel que soit le rang  : . En voici quelques exemples :

  • Les suites constantes sont des suites périodiques de période 1.
  • Un autre exemple de suite périodique est la suite définie par  : , qui a une période de 2.

Les suites ultimement périodiques sont similaires aux suites périodiques, à un détail près : le début de la suite n'est pas périodique, la suite n'étant périodique qu'au-delà d'un certain rang. En voici quelques exemples

  • Les suites stationnaires (constantes au-delà d'un certain rang) sont des suites ultimement périodiques de période 1.
  • La suite de Syracuse est définie par la relation de récurrence suivante  :
Cette suite se stabilise au bout d’un certain temps : la fin de la suite sera une succession de 1, 4, 2, 1, 4, 2, etc. À l'heure actuelle, aucun mathématicien n’a réussi à démontrer que c'est le cas pour toute valeur, mais les mathématiciens ont conjecturé que c'est le cas

Les suites périodiques et quasi-périodiques sont toutes bornées. Cela parait évident à démontrer : chaque période, chaque cycle, ne renferme qu'un nombre limité de valeurs différentes ( valeurs pour être exact), ce qui est incompatible avec une suite non-bornée. Les suites périodiques sont donc bornées entre la plus grande de ces valeurs et la plus petite. Quant aux suites quasi-périodiques, elles possèdent fatalement un nombre fini de termes avant de devenir périodique, ce qui fait que le même raisonnement s'applique.



Les opérations sur les suites

Les mathématiques sont le royaume des généralisations. On ne compte les fois où une opération ou un type d'objet mathématique a été étendu pour en donner une version plus générale. Les nombres fractionnaires ont été complémentés par les réels, eux-mêmes complétés par les nombres complexes. Même chose pour les opérations comme l'addition ou la multiplication : initialement inventées pour les nombres, elles ont été étendues aux matrices, aux vecteurs et à bien d'autres objets mathématiques beaucoup plus complexes. Les suites ne font pas exception : il est possible de les additionner, de les soustraire, de les multiplier, les diviser, etc.

Les comparaisons entre suites et limites[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de comparer deux suites, ce qui permet de dire si une suite est "supérieure" ou "inférieure" à une autre. Si on compare deux suites et  :

  • si, pour rang n, .
  • si, pour rang n, .
  • si, pour rang n, .
  • si, pour rang n, .
  • si, pour rang n, .

Les opérations "arithmétiques" sur les suites et limites[modifier | modifier le wikicode]

Comme dit plus haut, il est possible de faire les quatre opérations arithmétiques sur deux suites. Précisément, soit deux suites notées et  :

  • La somme est la suite définie par : .
  • La différence est la suite définie par : .
  • La multiplication d'une suite par un nombre réel est la suite définie par : .
  • Le produit est la suite définie par : .
  • Le quotient est la suite définie par : .

Annexe : l'espace vectoriel des suites réelles[modifier | modifier le wikicode]

Avec les opérations définies ci-dessus, on peut montrer que l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel.

Pour rappel, un espace vectoriel est définit comme le regroupement : d'un ensemble E, d'une addition + et d'une multiplication par un réel . De plus, les conditions suivantes sont respectées. On note x et y des membres quelconques de l'ensemble E.

Addition :

  • L'addition de deux membres de l'ensemble doit donner un résultat qui appartient à l'ensemble :
  • L'addition est associative et commutative.
  • Il existe un élément neutre pour l'addition, noté , qui est un membre de l'ensemble E tel que :
  • Tout membre de E possède un opposé par rapport à l'addition, cet opposé étant tel que :

Multiplication par un réel :

  • Comme pour l'addition, la multiplication par un réel d'un membre de l'ensemble, qui donne un résultat dans l'ensemble :
  • Le réel 1 est un élément neutre pour la multiplication, noté , définit tel que :
  • La multiplication est distributive par rapport à l'addition.

On a vu dans la section précédente que l'on peut additionner deux suites réelles ou en multiplier une par un réel. De plus, ces opérations donnent pour résultat une suite réelle. On dispose donc des opérations idoines. On vérifie assez facilement que les autres conditions sont vérifiées, les seules difficultés étant l’élément neutre de l'addition et la détermination de l'opposé. L’élément neutre n'est autre que la suite nulle, une suite constante dont tous les termes sont nuls. La suite opposée d'une suite est simplement la suite définie par .

Annexe : Les sous-espaces vectoriels de suites[modifier | modifier le wikicode]

Certains sous-ensembles de suites réelles sont eux aussi des espaces vectoriels, et plus précisément, des sous-espaces vectoriels.

Pour rappel, un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel, qui est lui-même un espace vectoriel.

Pour un espace vectoriel E, un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel si :

  • il contient l’élément neutre :  ;
  • et si l'addition et la multiplication donne un résultat dans F : et .

En guise d'exercice, essayez de trouver quels ensembles suivants sont des espaces vectoriels :

  • l'ensemble des suites constantes ;
  • l’ensemble des suites croissantes ;
  • l’ensemble des suites monotones ;
  • l’ensemble des suites géométriques.

Solution :

  • L'ensemble des suites constantes est bien un espace vectoriel. Il contient l’élément neutre, et la somme de deux suites constantes donne bien une suite constante, de même que le produit d'une suite constante par un réel.
  • L'ensemble des suites croissantes n'est pas un espace vectoriel. Le produit d'une suite croissante par -1 ne donne pas une suite croissante, mais décroissante. La multiplication par un réel ne respecte pas la condition .
  • L'ensemble des suites monotones n'est pas un espace vectoriel. La somme d'une suite croissante et d'une décroissante n'est pas systématiquement monotone.
  • L'ensemble des suites géométriques n'est pas un espace vectoriel. La somme de deux suites géométriques ne donne pas toujours une suite géométrique.



Les limites de suites

L'étude des suites porte le plus souvent sur la manière dont les termes se comportent quand le rang augmente. Par exemple, les mathématiciens ou physiciens cherchent souvent à savoir si les termes finaux d'une suite se rapprochent d'une valeur précise. Beaucoup de suites sont dans ce cas : les termes se rapprochent de plus en plus d'une valeur précise quand on augmente le rang. D'autres ne sont pas dans ce cas et voient leurs termes devenir de plus en plus grands ou petits avec le rang. C'est le cas de la suite , par exemple. Le comportement d'une suite quand n grandit a beaucoup été étudié par les mathématiciens, qui lui ont donné le nom de comportement asymptotique.

La convergence/divergence d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Comme on le voit, le comportement des termes quand on augmente le rang vers l'infini varie beaucoup selon la suite. Cette intuition peut être formalisée assez simplement par le concept de limite d'une suite. Intuitivement, on peut se retrouver dans trois cas différents :

  • Soit les termes se rapprochent, tendent, vers une valeur précise.
  • Soit les termes tendent vers une valeur infinie.
  • Soit les termes ne tendent vers aucune valeur, qu'elle soit finie ou infinie : c'est le cas par exemple de la suite 1, -1, 1, -1, 1, -1 ...

Dans le premier cas, on dit que la suite est convergente. Les deux autres cas correspondent à ce qu'on appelle une suite divergente. On voit qu'il existe deux types de suites divergentes, les premières tendent vers l'infini alors que les autres sont es suites un peu à part. Ces dernières sont appelées des suites sautantes. Elles sont définies par la condition suivante : soit a < b, la suite est dite sautante si une infinité de termes est supérieur à b () et une autre infinité est inférieur à a ().

Les suites divergentes[modifier | modifier le wikicode]

Une suite est dite divergente si ses termes finissent par devenir aussi grands que possible quand le rang augmente. Si on choisit une constante précise, aussi grande que l'on veut, alors tous les termes au-delà d'un certain rang dépasseront cette constante. Dit autrement, pour tout nombre M, il existe un rang n tel que . La suite diverge alors vers l'infini . Le cas où la suite diverge vers est similaire, si ce n'est que au-delà d'un rang n.

Les suites convergentes[modifier | modifier le wikicode]

Pour une suite qui converge, la logique est similaire au cas où la suite diverge, à quelques différences près. Pour une suite convergente, ses termes sont circonscrits dans un intervalle que l'on peut rendre aussi petit que possible quand le rang augmente. Le centre de cet intervalle est la limite de la suite. Précisément, si on choisit un nombre , aussi petit que l'on veut, alors il y a un rang au-delà duquel les termes de la suite sont tous compris dans l'intervalle .

Définition de la limite d'une suite.

On peut reformuler cette définition de la manière suivante : les suites convergentes sont bornées au-delà d'un certain rang, les bornes étant les valeurs et . Cette définition montre plus clairement que la convergence d'une suite ne dépend pas de ses premiers termes.

On peut noter que si une suite converge, sa limite est unique : une suite ne peut pas converger vers deux limites différentes en même temps. Un bon moyen de le "démontrer" est simplement d'utiliser un raisonnement par l'absurde. Pour commencer, on suppose qu'une suite (peu importe laquelle) converge vers deux suites et . Au bout d'un certain rang, on sait que tout terme la de suite sera donc compris dans les intervalles et . Évidemment, si l et l' sont différents, ces intervalles seront disjoints. Vu que chaque terme de la suite au-delà d'un certain rang ne peut pas appartenir à deux intervalles disjoints, on fait face à une contradiction.

Les critères de convergence usuels[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de suite convergente.

Établir si une suite converge ou diverge est souvent assez simple, mais peu aussi devenir particulièrement compliqué quand on ne sait pas par quel bout prendre le problème. Il existe de nombreux critères qui permettent de savoir si une suite converge ou non. Une simple analyse de la suite avec ces critères permet de déterminer si elle converge ou diverge. Ces critères sont nombreux et permettent surtout de savoir si une suite diverge, sans pour autant préciser si elle converge effectivement. D'autres permettent de comparer des suites à d'autres suites dont on sait qu'elles convergent ou divergent. Cette section va donner quelques critères de convergences usuels, simples à appliquer.

Les suites convergentes sont bornées[modifier | modifier le wikicode]

Une propriété importante des suites convergentes est qu'elles sont toutes bornées (pour rappel, cela signifie qu'elles ont un minimum et un maximum). Mais il faut faire attention à la réciproque, qui est fausse : une suite bornée n'est pas forcément convergente. Un bon contre-exemple est la suite définie par : . Celle-ci est bornée dans l'intervalle , mais elle ne converge pas. Pour résumer, les suites convergentes sont bornées. On peut donc déterminer si une suite diverge en vérifiant qu'elle est bornée. Si on démontre que ce n'est pas le cas, elle diverge. Si c'est le cas, on ne sait pas si elle diverge ou si elle converge.


Démonstration

Cette propriété n'est pas étonnante et découle directement de la définition d'une limite. Pour rappel, cette définition dit qu'il existe un rang tel que les termes de la suite sont bornés par l'intervalle :

Avant ce rang , il n'y a qu'un nombre fini de termes. Parmi ces termes, il y en a un qui est plus grand que les autres et un autre qui est plus petit que tous les autres. Notons ceux-ci max et min. Par définition, les termes de la suite avant le rang sont naturellement bornés dans l'intervalle suivant :

La suite est donc bornée avant le rang : , prendant et après : elle est donc bornée.

Le théorème des gendarmes[modifier | modifier le wikicode]

Illustration du théorème des gendarmes.

Le théorème des gendarmes, aussi appelé théorème du sandwich ou théorème d'encadrement, est un critère qui concerne les suites adjacentes. Si une suite est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite, alors on sait que les trois suites convergent vers la même limite. Cet encadrement est plus précisément un encadrement de chaque terme de la suite entre les termes de même rang des deux autres. Dit d'une manière plus claire, chaque terme de la suite encadré est compris entre les termes et des deux autres suites : . Si à partir d'un certain rang, l'égalité précédente est respectée pour tous les termes, on sait que la suite encadrée converge et que sa limite est la même que celle des deux autres suites.

Le critère de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

Illustration d'une suite de Cauchy.

Le critère de Cauchy permet de déterminer si une suite converge ou non, assez simplement. Ce critère permet de définir une classe de suites particulières, appelées suites de Cauchy. On peut démontrer, avec des outils mathématiques compliqués, que toute suite convergente est obligatoirement une suite de Cauchy. Pour les suites réelles, les suites de Cauchy convergent toutes, sans exception. Démontrer qu'une suite réelle est de Cauchy suffit donc pour dire qu'elle converge.

Une suite de Cauchy est une suite telle que pour deux rangs et , avec , on a :

Ce qui est équivalent à :

Il faut préciser que cette condition doit valoir pour tout a et b supérieur à n. Le fait que la condition fonctionne avec a et b convenablement choisis ne marche pas. Par exemple, prendre a et b consécutif ne donnera pas une application correcte du théorème de Cauchy. Il existe en effet des suites divergentes dont suite dont la différence entre deux termes consécutifs tend vers zéro. Ainsi, on ne peut pas dire qu'une suite est convergente si elle respecte la condition suivante :

Quelques exemples types de limites[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'enseignement secondaire et/ou universitaire, vous aurez certainement à faire des calculs de limites. Dans ces calculs, certaines limites particulières ont tendance à revenir, à être fortement utiles. Dans ce qui va suivre, nous allons voir quelques exemples classiques de limites assez courants. Nous verrons les limites des suites vues précédemment, à savoir les limites des suites harmoniques, des suites arithmétiques et géométriques, et de quelques autres suites.

Nom de la suite Formule paramétrée de la suite Limite
Suite constante
Suite identité
Suite harmonique
Suite de l'inverse des carrés
Suite d'une puissance
  • Si , la suite est croissante et sans majorant : elle diverge vers .
  • Si , la suite est constante et converge vers .
  • Si , la suite est décroissante et avec une borne inférieure nulle : elle converge vers .

Démontrer les faits du tableau précédent est assez simple. Le cas des suites constantes est trivial : il suffit d'appliquer la définition. Pour les suites arithmétiques et géométriques, il suffit d'utiliser le critère sur les suites monotones, le résultat étant assez immédiat. Il faut juste prendre en compte le cas où la suite est constante ou alternée. Le cas de la suite harmonique est plus intéréssant, bien qu'une simple application de la définition d'une suite suffise à donner le résultat.

Démonstration de la limite de la suite harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Dans cette section, nous allons démontrer que la suite harmonique converge bien vers zéro. Pour cela, il suffit d'appliquer la définition de la limite d'une suite. Déjà, on sait que chaque terme de la suit ne peut être négatif : tout terme est positif ou nul : . Il ne reste plus qu'à prouver que si on choisit un aussi petit que l'on veut, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont plus petits que . Déjà, on peut remarquer que la suite est décroissante : chaque terme est plus petit que le précédent. Donc, si on trouve un rang pour lequel , alors les rangs suivants respectent aussi cette propriété. Dit autrement, on souhaite trouver tel que :

Appliquons l'équation et faisons le remplacement :

On trouve alors qu'il faut que :

Or, un tel rang existe toujours. Vu que chaque terme de la suite ne peut être négatif, mais qu'on peut les rendre aussi petits que l'on veut, tant qu'ils restent à zéro ou plus, alors la limite de la suite est nulle.



Les opérations sur les limites de suites

Il est intéressant de regarder quelle est la limite d'une somme de deux suites, ou de leur produit. Dans une telle condition, on peut dire si la limite de la somme converge ou diverge selon le comportement des deux suites. Pour les suites qui convergent, le résultat est plutôt simple : la limite de la somme est la somme des limites, idem pour le produit ou le quotient.. Pour deux suites et qui convergent respectivement vers et , leur somme converge vers , leur différence vers , leur produit vers et leur quotient vers . Le résultat pour les suites divergentes est assez compliqué, mais le résultat diverge dans la plupart des cas, sauf dans quelques cas où le résultat n'est pas connu qui portent le nom de formes indéterminées. Dans les tableaux qui suivent, ces formes indéterminées seront notées "F.I".

Les comparaisons entre suites[modifier | modifier le wikicode]

Le résultat d'une comparaison entre deux suites est conservée lors du passage à la limite :

  • Si , alors .
  • Si , alors .
  • Si , alors .
  • Si , alors .
  • Si , alors .

Les résultats d'opérations sur les suites[modifier | modifier le wikicode]

Voyons maintenant comment se comporte la limite lorsque l'on effectue une opération sur deux suites. Les résultats sont donnés pour des suites divergentes et convergentes notées et .

Somme de deux suites[modifier | modifier le wikicode]

Additionner deux suites donne des résultats assez différents selon les suites et . En effet, l'addition de deux suites convergentes ne donnera pas le même résultat que l'addition de deux suites divergentes, ou qu'une suite divergente avec une convergente.

Le cas le plus simple est de loin l'addition de deux suites convergentes et qui convergent respectivement vers et . Leur somme converge vers  : la limite d'une somme est égale à la somme des limites

Ce principe est cependant remis en question quand une des deux suites et diverge : la somme des suites va elle aussi diverger. Dans le cas où une des suites et n'a pas de limite, alors la somme ne peut pas avoir de limite. Le cas le plus simple à étudier est celui où la suite divergente tend vers ou . Dans ce cas, la suite diverge aussi vers , à une exception près : celui où une des suite tend vers et l'autre vers . Dans ce dernier cas, on ne sait pas si les deux infinis se compensent (donnant un zéro), ou si l'un des deux infini l'emporte sur l'autre. Le résultat de la somme ne peut donc pas être connu avec certitude, tout du moins sans techniques particulières : c'est une forme indéterminée.

(resp. )
(resp. )
FI
FI
Avec ce qui vient d'être dit, on peut démontrer que les relations suivantes sont équivalentes :
Pour le dire en mots, dire que la suite converge vers L est équivalent à dire que la suite converge vers 0.

Multiplication d'une suite par un réel[modifier | modifier le wikicode]

Le résultat du produit d'une suite avec un réel est assez trivial à établir. Tout dépend si la suite diverge ou converge :

  • Dans le cas d'une suite convergente de limite , la limite du produit a pour limite . En clair, la limite du produit est le produit des limites.
  • Dans le cas d'une suite divergente, le produit avec un réel ne change rien : la suite diverge toujours et sa "limite" reste la même si elle en a une. Une suite qui diverge vers continuera à diverger ainsi après multiplication par un réel.

Par contre, il faut faire attention quand le réel est négatif : le signe de la limite peut changer.

Produit et quotient de deux suites[modifier | modifier le wikicode]

(resp. )
(resp. )
FI FI
FI
FI
(resp. )
(resp. )
FI
FI

Les formes indéterminées[modifier | modifier le wikicode]

Les formes indéterminées surviennent quand on se retrouve devant un calcul impossible en tentant de calculer le produit ou la somme de deux limites. Par exemple, vous pouvez essayer de diviser deux suites qui divergent : vous vous retrouvez à diviser l'infini par lui-même. Le résultat est alors indéterminé et la suite quotient peut aussi bien diverger que converger ! Voici les sept formes indéterminées possibles :

Formes indéterminées

Lever l'indétermination[modifier | modifier le wikicode]

Le seul moyen de trouver la vraie valeur d'une forme indéterminée est de reformuler le calcul, en utilisant des techniques spéciales comme le changement de variable. Pour donner un exemple simple, nous allons prendre l'exemple de la suite définie par :

Les deux suites : et : divergent toutes les deux, ce qui fait que la limite est la suivante :

Une solution pour lever l'indétermination est de simplifier la fraction initiale :

On voit alors immédiatement que la suite converge vers :



Annexe : la vitesse de convergence d'une suite

Si toutes les suites convergent, certaines le font plus rapidement que d'autres. Les termes des suites rapides arrivent rapidement à des valeurs proches de leur limite, alors que ce n'est pas le cas pour les suites lentes. Cette description intuitive n'est cependant pas facile à formaliser. Mais sa formalisation est particulièrement utile quand on doit analyser la convergence de certaines suites. C'est notamment le cas en analyse numérique, un domaine des mathématique assez complexe. C'est aussi utilisé dans le domaine du calcul numérique (à savoir le calcul sur ordinateur), qui fait un grand usage de suites pour calculer certains nombres. Par exemple, il existe des suites qui permettent de calculer certaines constantes mathématiques , comme pi, e, ou bien d'autres constantes utiles. Pour donner un autre exemple, la constante de Majorana, une constante de la physique des particules, se calcule avec une suite de ce genre. Il est préférable d'utiliser des suites qui convergent rapidement pour faire les calculs et c'est là que l'analyse de la vitesse de convergence devient utile.

L'erreur d'approximation[modifier | modifier le wikicode]

La définition formelle de la vitesse de convergence fait intervenir la différence entre un terme et la limite . Si est assez grand, est assez proche de la limite . On peut alors considérer que . Il est alors intéressant d'étudier l'erreur d'approximation, à savoir de combien le terme approximé se trompe par rapport à la valeur exacte de L. Intuitivement, on devine que :

, avec l'erreur d'approximation.

L'erreur d'approximation de l'équation précédente eut être aussi bien positive que négative. Par exemple, si j'ai et L = 2, l'erreur d'approximation est positive et égale à 0.23. Par contre, si j'ai et , l'erreur d'approximation est négative et égale à -0.5. Ce qui nous intéresse dans la suite du cours est la valeur absolue de l'erreur d'approximation. Celle-ci porte le nom d'erreur absolue.

L'erreur absolue est la valeur absolue de l'erreur d'approximation, comme mentionnée plus haut. Dans le cas général, elle vaut :

, avec a la valeur exacte a et b une valeur approchée de a.

L'erreur relative est l'erreur absolue, mais rapportée en valeur de a. Dans le cas général, elle vaut :

, avec a la valeur exacte a et b une valeur approchée de a.

Appliqué à une suite qui converge vers L, on trouve alors :

, avec L la limite.
, avec L la limite.

C'est l'erreur d'approximation absolue qui est utilisée pour définir la convergence de la suite. Cependant, l'erreur relative n'est pas inutile et nous servira quand on parlera du nombre de chiffres significatifs de l'approximation.

La vitesse de convergence[modifier | modifier le wikicode]

L'erreur d'approximation absolue diminue avec le rang, ce qui fait que les deux erreurs d'approximation absolues et seront différentes. Plus l'erreur d'approximation diminue d'un rang au suivant, plus l'erreur d'approximation diminue rapidement avec le rang n et plus la suite converge rapidement. L'idée est de comparer ces deux différences entre deux rangs, en utilisant leur rapport . La vitesse de convergence est définie par la limite de ce quotient quand n tend vers l’infini.

On distingue plusieurs vitesses de convergences, selon que la limite , , (le cas où implique une suite divergente).

  • Si la limite est égale à 1, alors la suite a une convergence infra-linéaire, aussi appelée convergence lente.
  • Si la limite est une constante K telle que , la suite a une convergence linéaire, aussi appelée convergence géométrique (on verra qu'il y a un lien avec les suites géométriques dans ce qui suit).
  • Si la limite est égale à 0, alors la suite a une convergence supra-linéaire, aussi appelée convergence rapide.
Convergence infralinéaire
Convergence linéaire
Convergence supralinéaire

Convergence linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Pour le dire autrement, une suite a une convergence linéaire si, au-delà d'un certain rang, il existe tel que :

Cette équation nous dit qu'une suite est linéairement convergente si est bornée par une suite géométrique. Pour le dire en français, l'erreur d'approximation (sa valeur absolue, pour être précis) est bornée par une suite géométrique. L'erreur d'approximation diminue donc en passant au rang suivant, avec un taux de décroissance plus petit que 1, mais positif. Le coefficient est appelé le taux de convergence de la suite.

Convergence supra-linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de classer les convergences supra-linéaires en modifiant quelque peu l'équation. Il suffit d'élever le dénominateur de l'expression précédente à une certaine puissance , qui dépend de la suite.

On peut reformuler cette équation de la même manière que pour les suites linéairement convergentes, ce qui donne :

Suivant la valeur du coefficient , on distingue

  • les suites à convergence quadratique, pour lesquelles  ;
  • les suites à convergence cubique, pour lesquelles  ;
  • les suites à convergence quartique, pour lesquelles  ;
  • etc.
Convergence quadratique
Convergence cubique
Convergence quartique

Comparer la vitesse de convergence de deux suites[modifier | modifier le wikicode]

Il est parfois intéressant de comparer la vitesse de convergence de deux suites, pour savoir laquelle converge le plus vite. Les informaticiens font cela souvent, sans même le savoir, en comparant le comportement asymptotique de deux algorithmes (leur complexité algorithmique, pour être précis). Dans ce qui va suivre, nous allons comparer une suite à une suite de référence . Les suites de références auxquelles on compare les suites sont les suivantes :

Convergence lente Convergence géométrique Convergence rapide
, avec , avec

Chaque suite converge plus rapidement que les précédentes. On peut déterminer si une suite converge lentement, rapidement ou de manière géométrique en la comparant aux suites du tableau. Par exemple, on sait qu'une suite en (dominée par la suite définie par ) converge lentement.

Suites dominées, équivalentes et négligeables[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons maintenant introduire les notions qui permettent de comparer les vitesses de convergence de deux suites. Prenons deux suites et , avec la suite de référence, à laquelle on compare . Les relations de dominance, négligeabilité et d'équivalence sont déterminée par la valeur de la limite : . Tout dépend si elle est finie, nulle ou égale à 1.

Notation Première définition Seconde définition Troisième définition
est dominée par , avec K un réel quelconque. Au-delà d'un certain rang , il existe une constante M telle que :
Il existe une suite bornée telle que :
est négligeable devant Il existe un rang au-delà duquel on a, pour tout  :
Il existe une suite qui converge vers zéro telle que :
est équivalente à Il existe une suite qui converge vers 1 telle que :

A partir de la définition de l'équivalence, on peut démontrer que deux suites équivalentes ont la même limite. Ainsi, si et que , alors on sait que .

Les relations entre dominance, négligeabilité et équivalence[modifier | modifier le wikicode]

Vous remarquerez que la négligeabilité et l'équivalence sont deux cas particuliers de dominance. Ce qui est à l'origine des deux propriétés suivantes :

  • Si une suite est négligeable devant , alors elle est aussi dominée par .
  • Si deux suites sont équivalentes, alors l'une domine l'autre et réciproquement.
Attention : la réciproque est fausse. Il existe des suites qui se dominent mutuellement, sans pour autant être équivalentes.

On peut démontrer que la négligeabilité est transitive :

L'équivalence de deux suites est, quant à elle, une relation transitive, réflexive (une suite est équivalente à elle-même) et symétrique (c'est donc une relation dite d'équivalence, d'où son nom).

Transitivité :
Réflexivité :
Symétrie :

Opérations avec l'équivalence, la négligeabilité et la dominance[modifier | modifier le wikicode]

Négligeabilité :

On peut démontrer qu'une combinaison linéaires de suites négligeables devant est aussi négligeable devant  :

, sous condition que .

Il en est de même pour le produit d'une suite par une suite négligeable devant  :

, sous condition que (mais on n'a pas besoin que ).

Equivalence :

On peut noter que les relations suivantes sont équivalentes :

Les relations au-delà de la première sont appelées des développements asymptotiques de l'équivalence. On voit avec ces relations que l'on ne peut pas additionner ou soustraire des suites équivalentes. Par exemple, si et , on ne peut PAS en déduire que . Les seules opérations que l'on peut faire dans ce genre de situation sont les multiplications, les quotients et les élévations à la puissance. Ainsi, si on a : et  :

Les chiffres significatifs de l'approximation[modifier | modifier le wikicode]

Si l'approximation est suffisante, et L ont des chiffres en communs et ne différent que par des chiffres les plus à droite. Pour rappel, les chiffres communs entre l'approximation et la cible (la limite L) sont appelés des chiffres significatifs. Plus le rang augmente, plus le nombre de chiffres significatifs augmente : des chiffres qui étaient erronés aux rangs précédents vont devenir corrects. L'approximation s'affinera progressivement, d'un rang à l'autre. Par exemple, prenons une suite qui me permet de calculer . Si j'ai , je n'ai que 8 chiffres significatifs corrects. En augmentant le rang, je vais avoir de plus en plus de chiffres qui vont devenir significatifs. Par exemple, je vais avoir , puis , etc.

Si on connait l'erreur d'approximation et la limite, on peut calculer le nombre de chiffres significatifs de après la virgule.

Celui-ci est définit par le logarithme de l'erreur relative (en fait, son opposé) :

Attention : cette formule ne vaut que si la limite est non-nulle, sans quoi on obtient une division par zéro.

Le lien avec la vitesse de convergence[modifier | modifier le wikicode]

Il existe un lien entre le nombre de chiffres significatifs et la vitesse de convergence.

Pour une convergence linéaire, au-delà d'un certain rang :

, avec k une constante positive non-nulle (k > 0).

Pour une convergence supra-linéaire :

Pour une convergence infra-linéaire, au-delà d'un certain rang :

, avec l'ordre de convergence.


Démonstration

Pour le démontrer, partons de l'équation :

Divisons des deux côtés par L :

En prenant l'opposé du logarithme, on a :

On utilise la formule  :

Simplifions :

On applique la formule  :

Divisons maintenant par  :

Prenons la limite.

La limite du terme : tend vers zéro, ce qui donne :

, ce qu'il fallait démontrer.



Les sous-suites (suites extraites)

Dans les chapitres précédents, nous avons vu des suites lambda et quelques opérations que l'on peut faire sur celles-ci. Mais nous avons volontairement omis de parler d'une opération assez simple : l'extraction. Cette opération permet de créer une nouvelle suite à partir d'une suite donnée en opérande. Elle prend une suite et n'en garde qu'une partie des termes, les autres étant retirés de la suite. L'extraction est définie par une fonction, la fonction extractrice, qui détermine quels sont les termes à conserver et ceux à oublier. Le résultat de cette opération d'extraction est appelée une sous-suite ou encore une suite extraite (sous-entendu, extraite d'une suite donnée).

La définition formelle d'une suite extraite est la suivante :

Une suite est une sous-suite de si il existe une fonction croissante (la fonction extractrice) telle que :

Prenons quelques exemples, pour que vous compreniez mieux cette définition.

  • Supposons que l'on veuille ne conserver que les rangs pairs de la suite . Dans ce cas, la fonction extractrice est la fonction : , ce qui donne : , qui ne conserve que les rangs pairs.
  • Supposons maintenant que l'on veuille ne conserver que les rangs impairs de la suite . Dans ce cas, la fonction extractrice est la fonction : , ce qui donne : , soit seulement les rangs impairs.

La convergence d'une sous-suite[modifier | modifier le wikicode]

Si une suite converge vers L, toutes ses sous-suites convergent vers la même limite.


Démonstration

Prenons une suite qui converge vers L et une de ses sous-suites .

Dire que la suite converge vers L signifie, pour rappel, qu'il existe tel que pour , avec .

Vu que la fonction extractrice est croissante, on a : (ce lemme se démontre aisément par récurrence). On a alors et donc .

Les sous-suites de suites bornées[modifier | modifier le wikicode]

Les sous-suites ont quelques propriétés intéressantes, et les suites bornées sont de loin les plus intéressantes à étudier.

Extraction d'une sous-suite monotone[modifier | modifier le wikicode]

Une première propriété intéressante est celle-ci :

De toute suite bornée, on peut extraire une suite monotone.


Démonstration

Prenons une suite .

Un terme est un pic si tous les termes suivants sont plus petits que lui. En clair, un pic est défini par :

, pour tout .

On peut se retrouver dans plusieurs cas :

  • Si la suite a une infinité de pics, alors la suite des pics forme une sous-suite décroissante.
  • Sinon, on peut construire une sous-suite croissante. On prend comme premier terme un terme d'indice supérieur à tous les pics, puis un terme d'indice encore supérieur, etc. La suite ainsi construite est de facto croissante, par définition des pics.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de Bolzano-Weierstrass, appliqué aux suites réelles, nous dit que l'on peut en extraire une sous-suite convergente de n'importe quelle suite bornée. Le théorème nous dit qu'une telle sous-suite existe toujours, mais il ne nous dit pas comment trouver cette sous-suite. Il ne nous dit pas non plus qu'une n'en existe qu'une seule : il existe des situations où l'on peut extraire plusieurs sous-suites convergentes d'une même suite bornée.

Il existe plusieurs démonstrations du théorème.

  • La première est simplement une application de la propriété précédente, qui dit que l'on peut extraire une sous-suite monotone de toute suite bornée. Or, toute suite monotone et bornée converge vers sa borne supérieure/inférieure, et cette sous-suite ne fait pas exception.
  • La seconde est reproduite ci-dessous.


Démonstration

Prenons une suite dont les termes sont bornés dans l'intervalle - m est la borne inférieure de la suite, alors que M en est la borne supérieure.

Pour démontrer le théorème, nous allons construire deux suites adjacentes, par extraction de la suite . Ces deux suites adjacentes sont les suites et .

Construction des suites adjacentes par dichotomie :

On pose, comme premier terme pour chaque sous-suite adjacente :

et .

Par la suite, on procède par dichotomie. Partageons l'intervalle [m,M] en deux parties égales, respectivement les intervalles :

et

Un de ces deux intervalles contient un nombre infini de termes, l'autre regroupant au contraire un nombre fini de termes.

  • Si l'intervalle contient un nombre infini de termes, on pose : et .
  • Si au contraire, c'est l'intervalle contient un nombre infini de termes, on pose : et .
A cette étape, on peut remarquer que l'intervalle choisit est deux fois plus petit que l'intervalle initial. En clair, .

Et on recommence ainsi de suite avec l'intervalle choisit à l'étape précédente...

Démonstration de l'adjacence des deux sous-suites :

On peut démontrer que les deux suites et sont adjacentes.

On sait que :

  • est croissante et majorée par M : elle converge donc vers une limite L ;
  • est décroissante et minorée par m : elle converge donc vers une limite L'.

A chaque étape, l'intervalle choisit est deux fois plus petit que l'intervalle initial. La différence est, par construction, égale à :

On peut donc en déduire que :

Ce qui montre que les deux suites et sont adjacentes. Elles ont donc la même limite L.

Construction de la suite extraite convergente :

Construire la suite extraite convergente est trivial : il suffit de prendre des termes qui sont entre les deux suites adjacentes, c'est-à-dire des termes tels que . Par le théorème des gendarmes, cette suite converge vers la même limite que les deux suites adjacentes.



Les suites arithmético-géométriques

Certaines suites sont assez utilisées dans de nombreux domaines, et il est important de les connaitre par cœur. Celles-ci ont des propriétés assez simples à comprendre, ce qui fait que nous allons les étudier maintenant. Celles-ci sont les fameuses suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et quelques autres.

Les suites arithmétiques[modifier | modifier le wikicode]

Les suites arithmétiques sont des suites où les termes augmentent d'un pas régulier :  : on compte de 2 en 2, de 3 en 3, de 1.6 en 1.6, de 39 en 39, etc. Dit autrement, la différence entre un terme et le suivant est une constante et chaque terme s’obtient en additionnant une constante au terme précédent.

Suite arithmétique

Il est possible d'en obtenir deux définitions équivalentes, une paramétrée et une récurrente. Les voici :

La constante , le pas de la suite, est appelée la raison de la suite

On peut faire remarquer que la suite des entiers naturels (les positifs ou nuls) est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 0.
De même, toute suite constante est une suite arithmétique de raison 0, avec un premier terme quelconque.

Les suites arithmétiques sont monotones[modifier | modifier le wikicode]

La raison d'une suite arithmétique peut être aussi bien positive que négative, et même nulle ! Et le signe de la raison influence la croissance ou décroissance de la suite.

  • Si la raison est nulle, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
  • Si la raison est positive, les termes de la suite ne cessent d'augmenter avec le rang : la suite est croissante.
  • Si la raison est négative, les termes diminuent progressivement quand le rang augmente : la suite est décroissante.

Les suites arithmétiques sont donc soit croissantes, soit décroissantes : ce sont donc des suites monotones.

Les suites arithmétiques non-constantes divergent[modifier | modifier le wikicode]

Il est intéressant d'étudier la convergence/divergence des suites arithmétiques. On peut éliminer un cas assez simple : celui des suites constantes, qui convergent systématiquement. Pour les suites croissantes et décroissantes, c'est autre chose : elles divergent systématiquement. Pour résumer :

  • Si , la suite est constante et converge vers .
  • Si , la suite diverge vers .
  • Si , la suite diverge vers .

On peut démontrer la divergence des suites arithmétiques non-constantes de plusieurs manières.


Démonstration

La première méthode utilise ce théorème, que nous verrons dans le chapitre suivant :

Les suites croissantes et sans majorant divergent, de même que les suites décroissantes et sans minorants.

Or, les suites arithmétiques croissantes (décroissantes) n'ont pas de majorants (minorants) : elles divergent donc.


Démonstration

Une autre méthode consiste à appliquer la définition de la divergence vers ou .

Une suite diverge vers si, pour tout nombre , il existe un rang tel que : .

Dans le cas des suites arithmétiques, il suffit de prendre le rang tel que :

Il suffit pour cela de prendre un rang tel que :

Et un tel rang existe toujours.

La démonstration pour les suites décroissantes est similaire, si ce n'est que la définition à appliquer est la suivante :

Une suite diverge vers si, pour tout nombre , il existe un rang tel que : .

Le raisonnement est alors similaire au précédent, avec seulement quelques changements au niveau des calculs.

Les suites géométriques[modifier | modifier le wikicode]

Les suites géométriques sont assez similaires aux suites arithmétiques, la seule différence étant que l'addition est remplacée par une multiplication. Chaque terme est un multiple du précédent, ce qui fait que la suite est définie par la fonction de récurrence suivante.

Suite géométrique

Il est possible d'en obtenir une autre définition équivalente, qui est récurrente. Les voici :

La constante est encore une fois appelée la raison de la suite et elle peut être aussi bien positive que négative.

Les suites géométriques sont soit monotones, soit alternées[modifier | modifier le wikicode]

Contrairement aux suites arithmétiques, les suites géométriques ne sont pas forcément monotones. Et cette fois-ci, la croissance ou décroissance de la suite ne dépend pas du signe de la raison, mais de sa valeur. Dans les grandes lignes, tout dépend si la raison est négative ou positive, et si sa valeur absolue est comprise entre 0 et 1. Une suite géométrique de raison positive sera une suite monotone, alors qu'une raison négative donnera une suite alternée (le signe des terme s'inverse d'un terme à l'autre).

  • Si la raison est positive, la suite est obligatoirement monotone.
    • Si la raison est supérieure à 1, chaque terme sera plus grand que le précédent et la suite est croissante.
    • Si la raison est de 1, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
    • Si la raison est plus petite que 1 mais malgré tout positive, chaque terme sera plus petit que le précédent, mais reste positif : la suite est décroissante.
  • Si la raison est négative, chaque terme positif est suivi d'un négatif et réciproquement : la suite est alors dites alternée.
Sucesión geométrica función.png Sucesión geométrica función2.png

La convergence/divergence des suites géométriques[modifier | modifier le wikicode]

Toutes les suites géométriques ne convergent pas, bien que certaine le font. On peut éliminer directement le cas des suites géométriques qui sont alternées, qui ne peuvent pas converger par définition. Les suites géométriques constantes convergent aussi, par définition. Les autres suites convergent ou divergent, selon la valeur de la raison.

  • Si , la suite est diverge vers ou selon le signe du premier terme.
  • Si , la suite est constante et converge vers .
  • Si , la suite converge vers .
  • Si , la suite est alternée (les termes consécutifs changent de signe) : elle n'a pas de limite.

On peut démontrer la divergence des suites géométriques non-constantes et non-alternées avec les mêmes raisonnements que pour les suites arithmétiques.


Démonstration

La première méthode utilise deux théorèmes, que nous démontrerons dans le chapitre suivant.

Pour les suites géométriques croissantes, on utilise ce théorème :

Les suites croissantes et sans majorant divergent, de même que les suites décroissantes et sans minorants.

Or, les suites géométriques croissantes n'ont pas de majorants : elles divergent donc.

Pour les suites géométriques décroissantes, on utilise ce théorème :

Les suites croissantes et avec un majorant convergent, de même que les suites décroissantes et avec un minorant.

Les suites géométriques décroissantes avec -1 < r < 1 sont minorées par zéro (leurs termes sont tous positifs) : elles convergent donc. Les autres divergent vers moins l'infini.

Les suites arithmético-géométriques[modifier | modifier le wikicode]

Les suites arithmético-géométriques sont des généralisations des suites géométriques et arithmétiques : elles sont en quelque sorte les deux à la fois. Chaque terme se calcule en multipliant le précédent, avant d'ajouter une autre constante. La constante par laquelle on multiplie le terme précédent est appelé la raison de la suite, alors que l'autre constante additionnée est appelée la constante additive.

On peut signaler qu'une suite arithmétique est une suite arithmético-géométrique de raison multiplicative 1, alors qu'une suite géométrique est une suite arithmético-géométrique où la constante additive nulle.

Obtenir l'expression paramétrée de la suite est possible, bien que compliqué. Pour cela, nous allons déterminer la différence entre la suite arithmético-géométrique voulue et une suite géométrique de même raison et de premier terme identique. Nous allons voir ce que cela donne sur un exemple, avant de généraliser.

Rang Suite géométrique Suite arithmético-géométrique Différence entre les deux suites
1 0
2
3
4
5
... ... ... ...
n
... ... ... ...

On verra dans le chapitre sur les sommes partielles, que . En faisant le remplacement, on a :

On obtient avec pas mal de manipulations algébriques :

Il est possible de démontrer cette relation autrement, bien que la démonstration soit moins intuitive. En voici une démonstration juste en-dessous.


Démonstration

Pour faire cette démonstration, nous allons tenter de nous ramener d'une suite arithmético-géométrique à une simple suite géométrique, que l'on sait traiter. Pour cela, nous allons étudier la suite définie par :

avec

On a alors :

Vu que  :

La suite est donc une suite géométrique. On a donc :

En remplaçant par sa valeur , on trouve :



Les suites monotones réelles

Pour rappel, les suites monotones regroupent les suites constantes, croissantes et décroissantes.

  • Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang , on a : ), la suite est dite strictement croissante.
  • Dans le cas contraire, on a pour tout rang et la suite est dite strictement décroissante.
  • Si , la suite est dite décroissante.
  • Si , la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Tel est le cas de la suite définie par la relation  : la fonction est décroissante avec et croissante avec .

Montrer qu'une suite est monotone (croissante, décroissante ou constante)[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer qu'une suite est constante, croissante ou décroissante est généralement assez facile.

  • Si une suite est croissante, pour tout rang , .
  • Si une suite décroissante, pour tout rang , .
  • Si une suite est constante, pour tout rang , , on est face à une suite constante.

Une bonne manière pour déterminer la croissance/constance/décroissance d'une suite est de calculer la différence  :

  • Elle est toujours nulle pour une suite constante.
  • Elle est toujours positive si la suite est strictement décroissante.
  • Elle est toujours négative pour une suite strictement décroissante.
  • Son signe varie selon le rang si elle n'est pas monotone.

Exemple de démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Pour vous donner un exemple type de démonstration de ce genre, nous allons prendre le cas de la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels. La voici :

Pour montrer qu'elle est décroissante, nous allons calculer , qui vaut alors :

On voit bien que la différence est positive : la suite harmonique est donc décroissante.

La convergence des suites monotones[modifier | modifier le wikicode]

La convergence des suites monotones (qui sont soit croissantes, soit décroissantes) est assez simple à étudier, car il existe des critères de convergence spécifiques à ce type de suites.

Les suites majorées/minorées[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas le plus simple, il suffit de déterminer si elles sont croissantes ou décroissantes et de vérifier si elles ont un minorant/majorant. On peut se retrouver avec quatre cas bien précis :

Croissante Décroissante
Pas de majorant (mais un minorant) Limite égale à la borne inférieure
Pas de minorant (mais un majorant) Limite égale à la borne supérieure


Démonstration

Les propriétés précédentes ne sont que des corolaires du fait que toute suite convergente est bornée.

Commençons par le cas d'une suite croissante. Celle-ci est naturellement minorée par son premier terme, qui est le plus petit terme de la suite. Si la suite n'a pas de majorant, elle n'est pas bornée : elle doit donc diverger. Mais si elle a un majorant, alors elle est bornée. Vu son caractère croissant, on sait qu'il existe un rang au-delà duquel la différence avec la borne supérieure sera négligeable. Par définition de la borne supérieure, on a un rang au-delà duquel : . Dit autrement, la suite converge.

Le raisonnement pour la suite décroissante est l'exact copier-coller du raisonnement précédent, en changeant borne supérieure par borne inférieure et en intervertissant majorant et minorant.

Les suites adjacentes[modifier | modifier le wikicode]

La propriété précédente a une conséquence assez intéressante dans le cas de suites dites adjacentes. Les suites adjacentes sont deux suites et qui respectent les propriétés suivantes :

  • est croissante alors que est décroissante ;
  • pour tout rang  ;
  • .

Par définition des suites adjacentes, on sait que tout terme de la suite croissante est plus petit que n'importe quel terme de la suite décroissante.

, pour tout n et tout p.

Cela a deux conséquences :

  • La suite est majorée : tout terme de est un majorant de la suite.
  • La suite est minorée : tout terme de est un minorant de la suite.

Grâce à cela, on peut prouver que deux suites adjacentes ont la même limite.


Démonstration

Prenons deux suites adjacentes : une suite croissante et une suite décroissante .

Prouvons que les deux suites convergent :

  • est une suite croissante majorée : elle converge donc vers une limite
  • est une suite décroissante minorée : elle converge donc vers une limite

Prouvons ensuite que ces deux limites sont les mêmes. Pour cela, partons de la formule :

.

On sait, depuis le chapitre sur les opérations sur les limites, que . En faisant le remplacement, on a :

Donc, les deux limites sont égales : les deux suites convergent vers la même limite.



Les suites récurrentes (cas général)

Dans le premier chapitre, nous avons vu qu'il existe deux manière de décrire une suite, l'une donnant les suites paramétrées et l'autre les suites récurrentes (les deux n'étant pas exclusives). Dans ce chapitre, nous allons parler des suites récurrentes. Celles-ci sont très nombreuses et font clairement partie des plus étudiées, loin devant les simples suites paramétrées. Dans les grandes lignes, il existe deux choses importantes à propos des suites récurrentes : leur trouver une expression paramétrée et étudier leur comportement quand le rang grandit. Trouver leur limite, si elle existe, est aussi intéressant pour certaines suites récurrentes. Pour rappel, les suites récurrentes sont définies pour tout rang n par une fonction de récurrence, comme suit :

Comme on le voit, ces suites sont intégralement définies par une fonction, qui détermine la relation de récurrence. Étudier ces suites, c'est simplement étudier la fonction qui les définit : est-elle croissante, décroissante, stationnaire au-delà d'un point, continue, dérivable, linéaire, etc. Par exemple, on peut savoir si la suite est croissante ou décroissante en calculant la dérivée de la fonction f : la suite est croissante si cette dérivée est positive, décroissante si elle est négative, constante si elle est nulle. Malheureusement, il n'existe pas de méthode à tout faire qui puisse traiter toute suite récurrente existante et nous allons donc nous rabattre sur des cas particuliers de suites récurrentes.

Les concepts de base des suites récurrentes du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce chapitre et le suivant, nous allons étudier deux cas particuliers : les suites récurrentes linéaires et certaines suites non-linéaires. Nous verrons les suites récurrentes linéaires dans le prochain chapitre. Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux suites définies par une relation de la forme :

Dans ce qui suit, la fonction f est choisie pour avoir quelques propriétés qui simplifient l'analyse : elle est supposée continue, éventuellement dérivable.

Les intervalles stables[modifier | modifier le wikicode]

On pourrait croire que choisir une relation de récurrence et une valeur suffise à donner une suite. Mais il existe cependant quelques exceptions qui viennent compliquer la situation. Par exemple, regardez l'exemple suivant :

Le termes et existent, mais le terme non ! Il suffit de faire les calculs pour s'en rendre compte.

Le calcul donne une belle division par zéro qui stoppe net la progression de la suite. Le problème est alors que les opérations utilisées pour le calcul de la fonction ne donnent pas un nombre, alors qu'on s'attend à ce que ce soit le cas dans une suite numérique. On pourrait trouver d'autres exemples du même genre , mais pour des suites plus complexes, voire des suites qui ne sont pas numériques. Et bien évidemment, les problèmes peuvent survenir pour d'autres raisons que des divisions par zéro : que pensez d'une suite dont un terme donnerait  ? Pour comprendre quand ce genre de problème peut arriver, nous devons introduire la notion d'intervalle stable. Un intervalle stable est définit comme suit :

Soit une fonction et un intervalle , ce dernier est un intervalle stable si .

Cette définition nous donne une explication assez intuitive des problèmes mentionnés plus haut. Tout vient du fait que la fonction donne un résultat qui n'est ni un entier ni un réel, alors que la suite récurrent associée est censée être une suite d'entiers ou de réels. Pour reprendre l'exemple cité plus haut de la suite définie par . Le problème est que certaines opérandes vont donner une division par zéro : les opérandes de la fonction sont censés être des entiers ou des réels (), mais ce n'est pas le cas du résultat ! L'intervalle utilisé n'est pas stable, ce qui permet à ces problèmes de se manifester (ou du moins, ces problèmes peuvent potentiellement se manifester, vu que certaines opérandes ne posent pas de problèmes).

Les suites récurrentes associées[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, prenons les deux hypothèses suivantes :

  • la relation de récurrence est  ;
  • le terme appartient à un intervalle stable par f, que nous noterons I.

Alors une simple relation de récurrence nous permet de dire que la suite existe, qu'elle est définie pour tout entier n. Intuitivement, cela s'explique par le fait qu'à chaque passage par la fonction, le résultat sera bien dans l'intervalle I. Une véritable démonstration demande simplement de faire une démonstration par récurrence triviale. La suite alors définie est appelée la suite récurrente associée à f.

Si une fonction possède un intervalle stable fini (borné), alors la suite récurrente associée l'est tout autant. Ses termes sont dans l'intervalle stable, par définition, ce qui rend la suite bornée entre la bornes inférieure et supérieure de l'intervalle. Par exemple, si une fonction a [0,1] pour intervalle stable, on sait que la suite récurrente associée est bornée entre 0 et 1. Là où les choses deviennent intéressante, c'est que cette propriété évidente permet de déterminer rapidement si la suite associée converge ou non. Le cas le plus simple est celui où la suite associée est monotone (croissante ou décroissante). Dans ce cas, on sait que la limite va converger et on peut calculer sa limite facilement : c'est tout simplement la borne supérieure ou inférieure de l'intervalle (selon que la suite est croissante ou décroissante). Aussi, ne vous étonnez pas si beaucoup de démonstrations sur les suites récurrentes utilisent les théorèmes de convergence des fonctions monotones.

Les points fixes d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Ce qui va nous intéresser chez ces suites est l'étude des points fixes de la fonction f. Par point fixe on entend un nombre x tel que :

Exemple de fonction avec plusieurs points fixes. On voit que son graphe coupe la ligne identité en plusieurs points fixes.

Évidemment, toutes les fonctions n'ont pas de point fixe, bien que cela soit quand même assez courant.

On peut trouver les points fixes d'une fonction en regardant son graphe. Formellement, les points fixes sont ceux où le graphe de la fonction coupe la droite identité ().

Évidemment, toutes les fonctions n'ont pas de point fixe et il n'y a alors aucun point d'intersection entre le graphe de la fonction et la droite identité. A l'inverse, une fonction peut aussi avoir plusieurs points d'intersection, et donc plusieurs points fixes, comme le montre le graphe ci-contre. On peut se demander si les fonctions admettant au moins un point fixe sont courantes ou non. Et bien c'est le cas : toute fonction continue définie sur un intervalle stable admet au moins un point fixe. Cette propriété capture un grand nombre de fonctions, y compris des fonctions courantes comme les puissances, les logarithmes, l'exponentielle, etc.


Démonstration

On part d'une fonction définie sur un intervalle stable .

On souhaite démontrer qu'il existe un point pour lequel , ce qui se reformule comme suit : .

Considérons donc la fonction . On déduit facilement que la fonction est continue sur l'intervalle , cette propriété étant héritée de la fonction .

Maintenant, regardons ce qui se passe aux bords et de l'intervalle. Vu que et , on a :

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on déduit que doit s'annuler en une valeur précise de . Ce qu'il fallait démontrer.

Les points périodiques d'une suite[modifier | modifier le wikicode]

Les points périodiques sont une sorte de généralisation des points fixes, la différence étant que la fonction est appliquée plusieurs fois au lieu d'une seule pour les points fixes. Par exemple, prenons le cas d'un point périodique pour lequel une fonction est appliquée deux fois. On a alors :

En toute généralité, un point périodique est une valeur x telle que :

, où avec f appliquée sur elle-même fois.

Si possède un ou plusieurs points périodiques, alors la suite associée appartient à une classe de suite particulière : les suites périodiques ou quasi-périodiques. Si on omet les suites constantes ou stationnaires, aucune suite périodique ou ultimement périodique n'a de point fixe vers lequel elles peuvent converger. Ce qui signifie que toute suite (ultimement) périodique de période > 1 diverge.

La convergence d'une suite récurrente associée[modifier | modifier le wikicode]

La présence de points fixes fait que la suite peut devenir stationnaire (constante au-delà d'un certain rang). Il suffit qu'il existe un rang tel que  : tous les rangs supérieurs donneront une sous-suite stationnaire. Mais ce qui est intéressant est que cela permet de déterminer la limite de la suite si celle-ci converge. En effet, on peut démontrer que la limite d'une suite récurrente est aussi un cas particulier de point fixe.

La limite, si elle existe, est un point fixe[modifier | modifier le wikicode]

Si une suite récurrente associée possède une limite , alors cette limite est un des points fixes de f. En clair, on a : .


Démonstration

Partons de la relation de récurrence d'une suite, définie comme suit :

Passons à la limite quand tend vers l'infini :

On peut alors écrire :

Les deux limites sont égales à la limite de la suite, par définition. Si on note la limite de la suite, on a :

Ce qui nous dit que la limite est bien un point fixe.

Faisons quelques remarques, histoire de bien comprendre la portée de ce résultat.

  1. On doit s'assurer que la suite converge pour utiliser ce théorème. Il existe en effet des suites qui divergent, mais qui admettent quand même un ou plusieurs points fixes. Trouver les points fixes d'une fonction ne suffisent pas à dire que la suite récurrente associée converge vers ce point fixe : il faut encore prouver que la suite converge effectivement. Dit autrement : si l'existence d'un point fixe est une condition nécessaire, mais pas suffisante pour la convergence. Par contre, on sait que la réciproque est vraie : si la fonction n'a pas de point fixe, alors la suite récurrente associée ne converge pas. L'inexistence d'un point fixe implique de facto la divergence. Pour donner un exemple, la fonction n'a pas de point fixe, ce qui fait que toute suite définie par ne converge pas.
  2. Le point fixe peut ne s'exprimer que pour certains bien précis, qui sont les seuls à faire converger la fonction. Par exemple, la suite définie par ne converge que si le premier terme vaut 1 et diverge systématiquement sinon.
  3. Un autre problème est le cas où la fonction f a plusieurs point fixes. Dans ce cas, on sait que la limite de la suite est un de ces points fixes, mais on ne sait pas lequel. Pour en donner un exemple, prenons la suite définie par la relation suivante (un exemple de suite logistique, dont nous reparlerons plus tard) : . Cette suite possède deux points fixes : 0 et 1/3. La limite, si elle existe, ne peut être qu'un de ces deux points fixes, mais on ne sait pas l'avance lequel. Pour cet exemple, la suite converge effectivement et sa limite est de 1/3, mais l'analyse des points fixes seule ne nous permet pas de le déduire.

Les points précédents sont assez importants et font que la découverte d'un point fixe ne suffit pas à déterminer la limite d'une suite récurrente. Il faut d'abord s'assurer que la suite converge effectivement, avant de déterminer quel point fixe est le bon. Dans les démonstrations qui suivront, nous aurons à respecter ces deux étapes, dans cet ordre. D'abord on prouvera la convergence, avant de dire quel est le point fixe qui sert de limite. Pour cette seconde étape, il arrivera qu'on prouve que la fonction ne dispose que d'un seul point fixe, ce qui rend la tâche assez aisée.

Les différents types de points fixes[modifier | modifier le wikicode]

On peut classer les points fixes d'une fonction en deux types, selon la manière dont la limite converge vers ce point fixe.

  • Avec un point fixe répulsif, la suite ne converge vers un point fixe que si elle est constante et égale à au-delà d'un certain rang. En clair, la suite doit non seulement être stationnaire, mais les termes de sa portion constante doivent être égaux à .
  • Avec un point fixe attractif, ce n'est pas nécessairement le cas : la suite peut converger vers progressivement, sans pour autant être stationnaire. Un point attractif cause la convergence de toutes les suites construites avec la fonction f, sous condition que le premier terme soit suffisamment proche de .

Ils se distinguent par la valeur absolue de la dérivée de la fonction , , selon qu'elle est inférieure, supérieure ou égale à 1.

  • Si , les points fixes de la suite sont répulsifs ;
  • Si , les points fixes de la suite sont attractifs ;
  • Si , la suite peut converger ou non vers ses points fixes, qui peuvent être autant attractifs que répulsifs.

Un exemple : la suite de Héron[modifier | modifier le wikicode]

Dans la suite de ce chapitre, nous allons étudier quelques exemples emblématiques de suites récurrentes de premier ordre. Pour commencer, nous allons étudier une exemple classique de suite récurrente : la suite de Héron, définie par :

, avec un nombre constant positif.
Le premier terme est choisit plus ou moins arbitrairement.

Voici une autre formulation équivalente, qui nous sera utile par la suite :

Dans ce qui va suivre, nous allons étudier la convergence de cette suite et démontrer qu'elle converge vers . Nous allons utiliser pour cela quelques arguments, dont l'étude du point fixe de cette suite.

Une explication intuitive de la suite de Héron[modifier | modifier le wikicode]

Avant toute chose, on peut donner l'intuition qui se cache derrière cette suite, expliquer pourquoi elle converge vers . Pour comprendre pourquoi, imaginons que l'on choisisse un premier terme tel que . Dans ce cas, le terme sera tel que : . Le premier terme est donc inférieur à la racine carré, tandis que le second est supérieur. On peut appliquer le même raisonnement avec un premier terme tel que . Pour obtenir une meilleure approximation de , on peut prendre la moyenne des deux termes. C'est ce que fait la relation de récurrence : c'est la moyenne de deux termes et . Il suffit ensuite d'itérer ce calcul de moyenne avec l'approximation obtenue, le raisonnement précédent valant pour toutes les étapes intermédiaires. Ce raisonnement intuitif ne vaut cependant pas une démonstration en bonne et due forme, chose que nous allons faire dans ce qui suit.

Démonstration de la limite de la suite de Héron[modifier | modifier le wikicode]

Avant d'utiliser les points fixes de cette suite, nous devons avaoir vérifier si celle-ci converge effectivement. On pourrait imaginer un cas où la suite ne converge pas, ce qui rendrait l'utilisation du point fixe inutile. Il nous faut donc démontrer que la suite de Héron converge, avant de crier victoire. Heureusement, cette démonstration est très simple, vu que la suite est monotone. On peut alors utiliser les théorèmes vus dans le chapitre sur les limites pour dire si elle converge ou non.

Monotonie de la suite de Héron[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, vérifions si la suite est croissante, décroissante ou constante. Pour cela, calculons simplement le terme  :

Développons et réarrangeons les termes :

Simplifions :

Multiplions par  :

Le terme de droite est nul si , positif quand et négatif avec . La suite est donc constante si , croissante quand et décroissante avec . Reste enfin à trouver des minorants et des majorants à la suite.

Les minorants et majorants de la suite[modifier | modifier le wikicode]

Pour finir la démonstration, il nous reste à trouver des minorants et des majorants à la suite. Il se trouve que, quelque soit le premier terme, tous les termes suivants de la suite seront tels que , ou encore . Pour simplifier les calculs, nous allons calculer le carré de l'inégalité précédente, à savoir :

On remplace par sa valeur déterminée par récurrence. Cela signifie que les calculs qui vont suivre ne seront valables qu'au-delà du premier rang, le premier terme n'étant pas concerné.

Développons le terme au carré :

Mettons au même dénominateur :

Factorisons :

En faisans appel à une identité remarquable, on trouve :

Vu que cette expression est un carré, elle est toujours positive ou nulle. Ce qu'il fallait démontrer.

Cette inégalité n'étant qu'une reformulation de l'inégalité , on peut en déduire que pour tout rang au-delà du premier terme : . La suite est donc minorée par au-delà du premier rang. Sachant qu'on a démontré au-dessus que la suite est alors décroissante, on en déduit qu'elle converge. La suite de Héron converge donc vers la racine carrée du nombre A.

Le point fixe de la suite de Héron[modifier | modifier le wikicode]

D'après ce qu'on a vu en introduction, on sait que la limite de la suite de Héron est un point fixe de la fonction de récurrence. Calculons donc la valeur de ce point fixe, définit par :

Multiplions par  :

En isolant A et en prenant la racine carrée, on trouve :

Ce résultat nous dit que si cette suite converge, elle converge vers .



Les suites récurrentes k-contractantes

Il existe quelques cas particuliers de fonctions pour lesquelles on peut prouver qu'une suite récurrente associée converge systématiquement. Un cas particulier bien connu, souvent introduit dans les cours de mathématiques du supérieur, est celui des fonctions dites K-contractantes.

Les fonctions K-contractantes sont celles qui respectent la propriété suivante :
Une fonction est dite K-contractante si, pour tout x et tout y :
, avec .

On peut réécrire la formule précédente comme suit :

Cette formule ressemble à s'y méprendre à la formule d'une dérivée, et nous verrons que ce n'est pas un hasard : diverses propriétés impliquant la dérivée de f sont liées au caractère K-contractant de la fonction. Tel est le cas du théorème suivant :

Prenons une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si , alors la fonction f est strictement contractante sur l'intervalle I.

Le théorème du point fixe de Picard et Banach[modifier | modifier le wikicode]

Cette propriété implique, sous certaines conditions, que la suite récurrente associée à f converge. Ces conditions sont les suivantes :

  • f est K-contractante.
  • I est un intervalle stable par f.
  • f admet un unique point fixe .
On peut démontrer que les deux premières conditions impliquent la troisième, mais cette démonstration aurait plus sa place dans un cours sur les fonctions que dans un cours sur les suites, aussi nous la mettons de coté pour le moment.

Si ces conditions sont remplies, la suite récurrente associée à f converge vers le point fixe . Ce résultat est un théorème qui porte le doux nom de Théorème du point fixe de Picard et Banach. Le démontrer est assez aisé et demande de procéder comme indiqué plus haut : d'abord on prouve que la suite associée converge, avant de montrer que le point fixe est bien celui qui sert de limite. Ici, nous allons procéder dans l'ordre inverse : nous allons d'abord démontrer que le point fixe en question est unique, avant de montrer que la suite associée converge. La raison à cela est que la démonstration de l'unicité du point fixe est particulièrement simple : c'est un simple raisonnement par l'absurde qui ne demande que quelques manipulations algébriques triviales. Par contre, démontrer que la suite converge vers le point fixe est plus compliqué et demande un raisonnement mathématique à plusieurs étapes assez longues.

Démonstration de l'unicité de la limite[modifier | modifier le wikicode]

Commençons par démontrer l'unicité par l'absurde.


Démonstration

Supposons que la fonction accepte deux points fixes différents nommés et . Par définition, on a :

En soustrayant les deux équations, on trouve alors :

Dire que f est K-contractante signifie, par définition, que , ce qui donne :

Et vu que, d'après l'énoncé, , on a :

Ce qui est absurde.

Démonstration de la convergence de la suite[modifier | modifier le wikicode]

Il existe deux démonstrations différentes du fait que la suite converge.


Démonstration

Une première démonstration montre que la suite est une suite de Cauchy, à savoir une suite telle que , qui converge donc forcément (dans R ou C, du moins).

Du fait que la fonction g est K-contractante, on a immédiatement:

On a aussi, par définition :

En combinant les deux équations précédentes, on a :

En prenant la limite vers l'infini de l'expression précédente, on trouve bien que :


Démonstration

Une autre démonstration utilise le théorème de Boltzano-Weistrass.

La suite est bornée :

En premier lieu, la démonstration prouve que la suite K-contractante est bornée.

En effet, on a :

On peut alors démontrer que :

Vu que , on a :