Les suites et séries/Les séries alternées

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Une suite est dite alternée si des termes consécutifs n'ont pas le même signe. Dit autrement, le signe change quand on passe d'un terme au suivant. La moitié des termes de la suite sont positifs, les autres étant négatifs. Les suites alternées sont donc des suites de la forme :

ou

Les séries alternées sont des séries obtenues en additionnant les termes d'une suite alternée. Ce sont des séries de la forme :

ou

La règle de Leibniz[modifier | modifier le wikicode]

Il existe un théorème de convergence qui ne marche que pour les séries alternées. Il porte le nom de règle de Leibniz et c'est ce critère que nous allons aborder dans ce chapitre. Il nous dit qu'une série alternée qui respecte les critères suivantes converge :

  • La valeur absolue des termes forme une suite décroissante. En clair, pour tout rang n, on a : .
  • Le terme général tend vers zéro. Dit autrement : .


Démonstration

Pour démontrer la convergence, on analyse les deux sous-séries formées respectivement des termes pairs et impairs, à savoir et .

Vu que les valeurs absolues sont décroissantes, on déduit que l'une est décroissante (celle avec les termes positifs) et l'autre croissante (celle avec les termes négatifs).

Vu que le terme général tend vers zéro, la différence entre les deux suites tend aussi vers zéro.

Les deux suites sont donc adjacentes (ce qui est garanti par les hypothèses, qui ne font que garantir que les deux suites sont adjacentes), ce qui garanti qu'elles convergent vers une même limite. La série complète, la somme de ces deux sous-séries, converge donc.

Application : la série harmonique alternée[modifier | modifier le wikicode]

Prenons un exemple très simple de suite qui respecte ces critères : la série harmonique alternée. Pour rappel, la suite harmonique alternée est définie par :

  • Si on prend les valeurs absolues, la suite devient la suite harmonique, qu'on sait décroissante. La première condition, à savoir pour tout rang n, est donc remplie.
  • Ensuite, la suite tend bien vers zéro, comme la suite harmonique (le changement de signes à chaque terme n'y change pas grand chose).

La série harmonique converge donc. Et pour être précis, elle converge vers le logarithme naturel de 2 :

Il faut cependant noter que la convergence est conditionnelle, et non absolue. On pouvait le deviner, vu que la série harmonique ne converge pas.

Le reste d'une suite alternée[modifier | modifier le wikicode]

Sous ces hypothèses, on peut aussi prouver quelques propriétés liées à la quantité . Celle-ci n'est autre que la différence entre la série et une somme partielle de la suite et est appelée le reste. On peut alors prouver que :

  • Le reste a le même signe que son premier terme .
  • Sa valeur absolue est majorée par ce même premier terme : .