Les suites et séries/Les séries entières

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Dans le chapitre précédent, nous avons étudié les séries géométriques, à savoir des séries de la forme :

Ces séries ont cependant une particularité : le coefficient est le même pour tous les termes de la suite géométrique. Cependant, on peut imaginer des séries plus générales que les suites géométriques, où le coefficient changerait à chaque rang. Ces généralisations des séries géométriques sont appelées des séries de puissances, souvent mal-nommées séries entières.

Dans leur forme la plus simple, les séries entières sont de la forme :

Plus généralement, les séries entières sont les suivantes :

De nombreuses séries de ce genre sont utilisées, les plus connues étant de loin les séries de Taylor ou de Laurent, qui en sont les cas particuliers les plus connues.

La convergence des séries entières et le critère l'Alembert[modifier | modifier le wikicode]

Les séries entières peuvent converger ou diverger, selon la valeur de leur raison ou de leurs coefficients . Les propriétés de convergence de ces séries entières sont assez similaires à celles des séries géométriques, à quelques détails près. Pour nous en rendre compte, nous allons étudier divers exemples.

Un premier exemple[modifier | modifier le wikicode]

Comme premier exemple, nous allons utiliser la suite définie par :

, à savoir une série entière où

On peut alors utiliser le test du quotient pour vérifier si cette suite converge ou non. Calculons :

On voit que la série converge si la limite, donc , est inférieure à 1. Elle diverge si elle est supérieure à 1. Dans le cas où , on retombe sur la série harmonique qui est divergente. Pour les valeurs négatives de , les résultats sont identiques, si ce n'est que le cas où donne la série harmonique alternée, qui diverge elle aussi.

Un second exemple[modifier | modifier le wikicode]

On peut aussi étudier la série suivante, assez semblable à la série précédente :

On a montré il y a quelques chapitres que la série converge quelque soit la valeur donnée à . La démonstration avait été réalisée avec la méthode du quotient, illustrée plus haut. Nous reproduisons ici cette démonstration, pour montrer la ressemblance avec la démonstration pour la série précédente.

Calculons le rapport :  :

Or, est une constante, ce qui fait que ce rapport tend vers 0.

En conséquence, la série converge !

Dans le cas où , la série se simplifie en la série de l'inverse des factorielles, qui vaut :

Le cas général[modifier | modifier le wikicode]

Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'application de la règle d'Alembert donne des démonstrations extrêmement similaires pour toutes les séries entières. En effet, prenons le cas général, à savoir :

Le critère d'Alembert dit que la série converge toujours pour :

La convergence de la série entière dépend donc de la convergence de la suite , même si celle-ci ne converge pas. On a bien le cas de la série : où la suite des ne converge pas. Un autre paramètre important pour la convergence est la valeur de la raison .

On vient d'établir que la série converge si :

En clair, la série converge si :

Le rayon de convergence[modifier | modifier le wikicode]

La valeur est appelée le rayon de convergence et est définie comme la valeur maximale de la raison qui permette à la série de converger. Plus précisémment, le rayon de convergence est définit comme la valeur telle que :

  • Si , la série converge.
  • Si , la série diverge.
  • Si , la série peut diverger ou converger selon la série.

Le rayon de convergence peut être nul, non-nul ou infini et ces trois cas donnent des résultats différents en terme de convergence. Les cas où et donnent une forme indéterminée, dont un peut trouver facilement la solution. Mais hormis ces cas pathologiques, il existe toujours une valeur de la raison qui permette de faire converger la série. Pour résumer :

  • Si est non-nul et pas infini, les valeurs comprises dans l'intervalle font converger la série.
  • Si , alors la série converge pour toute valeur de la raison.
  • Si , la série converge uniquement pour .

Ce qui nous amène au point suivant.

Le lemme d'Abel[modifier | modifier le wikicode]

Prenons une valeur telle que la série entière converge (en fait, il suffit qu'elle soit bornée, mais laissons ce détail de coté). Alors, pour toute raison comprise dans l'intervalle , la série sera convergente.


Démonstration

Si , on a :

La série converge vers une valeur que nous allons noter M, ce qui donne :

Vu que , le second terme va converger.

Chaque terme du produit converge, ce qui fait que la suite complète converge elle aussi.

Les fonctions analytiques[modifier | modifier le wikicode]

Les séries entières ont un lien avec une classe de fonctions bien particulières : les fonctions analytiques. Ces dernières sont des fonctions que l'on peut approximer par une série entière. Pour être plus précis, on peut calculer avec une série entière telle que :

On voit que la fonction en x se calcule en fonction de sa valeur en . La série doit converger pour , ainsi que pour x dans le voisinage de (pour les valeurs proches).

La plupart des fonctions que vous connaissez sont analytiques. C’est le cas pour les polynômes, les fonctions trigonométriques, l'exponentielle, le logarithme, et quelques autres. Par contre, certaines fonctions comme la valeur absolue ne le sont pas.

L'expansion en série de Taylor[modifier | modifier le wikicode]

Les coefficients peuvent se calculer de plusieurs manières différentes. Le cas le plus courant est celui où l'on calcule les coefficients à partir des dérivées de la fonction f(x). Pour être précis, on a besoin de la fonction, de ses dérivées première, seconde, troisième, quatrième, cinquième et ainsi de suite. On a besoin de toutes les autres dérivées d'ordre n, jusqu'à l'infini, ce qui implique que de telles dérivées existent toutes. Dit autrement, la fonction doit être de classe . La méthode que nous allons voir ne marche pas pour les fonctions qui ne respectent pas cette condition.

La suite n'est pas la suite des dérivées d'ordre n, mais le rapport entre ces dérivées et la factorielle. En clair, on a :

, avec la dérivée d'ordre n de la fonction f(x) et la factorielle de n.

Avec cette méthode, la fonction f(x) est donc approximée par une série appelée série de Taylor :

Une série de Taylor nous permet de calculer la fonction au point x, si l'on connait sa valeur et ses dérivées au point . L'avantage est que la plupart des fonctions ont un point où calculer leurs propriétés est très facile. Dans le cas particulier où , une série de Taylor est appelée une série de Maclaurin.

On connait les séries de Taylor pour de nombreuses fonctions. Voici quelques autres exemples très connus.

Exponentielle
Logarithmes (les formules ne convergent pas toujours)
Fonctions trigonométriques
... ...

L'approximation d'une fonction analytique par une série de Taylor partielle[modifier | modifier le wikicode]

Approximation de la fonction exponentielle, au fur et à mesure qu'on ajoute les premiers termes de la série de Maclaurin.

Les fonctions non-polynomiales ont un nombre infini de termes, alors que les fonctions polynomiales n'ont qu'un nombre fini de termes (sous-entendu, de termes non-nuls). D'ailleurs, la série de Taylor d'une fonction polynomiale est la fonction elle-même. En fait, le principe qui se cache derrière les séries de Taylor est d'approximer la fonction par un polynôme, polynôme décrit par la série de Taylor. Si la fonction est polynomiale, alors la série de Taylor est le polynôme lui-même. Pour d'autres fonctions, la correspondance marche localement, à savoir qu'au voisinage d'un point, la fonction est décrite à la perfection par un polynôme en un point x, mais que l’approximation se fait de moins en moins bonne quand on s'en éloigne.

Notons que les séries de Taylor sont certes des séries infinies, ce qui rend leur étude compliquée. Mais on peut ne prendre en compte que les premiers termes pour des applications pratiques. Par exemple, les séries de Taylor sont utilisées pour faire des approximations en physique ou en ingénierie. Si un phénomène est décrit par une fonction assez compliquée, ou mal connue, on peut l'approximer par une série de Taylor et ne prendre en compte que les premiers termes (souvent les plus importants). Prenons par exemple celui de la fonction sinus et de sa série de Taylor associée. Sur le schéma ci-dessous, on voit la fonction sinus, avec la courbe obtenue avec les 7 premiers terme de la série de Taylor associée. On voit que la fonction est pas trop mal approximée par le polynôme, mais seulement à proximité du point étudié.

Approximation de sinus par les 7 premiers termes de la série de Taylor.