Les suites et séries/Les séries entières

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Dans le chapitre précédent, nous avons étudié les séries géométriques, à savoir des séries de la forme :

Ces séries ont cependant une particularité : le coefficient est le même pour tous les termes de la suite géométrique. Cependant, on peut imaginer des séries plus générales que les suites géométriques, où le coefficient changerait à chaque rang. Ces généralisations des séries géométriques sont appelées des séries de puissances, souvent mal-nommées séries entières. Celles-ci sont de la forme :

De nombreuses séries de ce genre sont utilisées, les plus connues étant de loin les séries de Taylor ou de Laurent, qui en sont les généralisations les plus connues.

La convergence des séries entières et le critère l'Alembert[modifier | modifier le wikicode]

Les séries entières peuvent converger ou diverger, selon la valeur de leur raison ou de leurs coefficients . Les propriétés de convergence de ces séries entières sont assez similaires à celles des séries géométriques, à quelques détails près. Pour nous en rendre compte, nous allons étudier divers exemples.

Un premier exemple[modifier | modifier le wikicode]

Comme premier exemple, nous allons utiliser la suite définie par :

, à savoir une série entière où

On peut alors utiliser le test du quotient pour vérifier si cette suite converge ou non. Calculons :

On voit que la série converge si la limite, donc , est inférieure à 1. Elle diverge si elle est supérieure à 1. Dans le cas où , on retombe sur la série harmonique qui est divergente. Pour les valeurs négatives de , les résultats sont identiques, si ce n'est que le cas où donne la série harmonique alternée, qui diverge elle aussi.

Un second exemple[modifier | modifier le wikicode]

On peut aussi étudier la série suivante, assez semblable à la série précédente :

On a montré il y a quelques chapitres que la série converge quelque soit la valeur donnée à . La démonstration avait été réalisée avec la méthode du quotient, illustrée plus haut. Nous reproduisons ici cette démonstration, pour montrer la ressemblance avec la démonstration pour la série précédente.

Calculons le rapport :  :

Or, est une constante, ce qui fait que ce rapport tend vers 0.

En conséquence, la série converge !

Dans le cas où , la série se simplifie en la série de l'inverse des factorielles, qui vaut :

Le cas général[modifier | modifier le wikicode]

Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'application de la règle d'Alembert donne des démonstrations extrêmement similaires pour toutes les séries entières. En effet, prenons le cas général, à savoir :

Le critère d'Alembert dit que la série converge toujours pour :

La convergence de la série entière dépend donc de la convergence de la suite , même si celle-ci ne converge pas. On a bien le cas de la série : où la suite des ne converge pas. Un autre paramètre important pour la convergence est la valeur de la raison .

On vient d'établir que la série converge si :

En clair, la série converge si :

Le rayon de convergence[modifier | modifier le wikicode]

La valeur est appelée le rayon de convergence et est définie comme la valeur maximale de la raison qui permette à la série de converger. Plus précisémment, le rayon de convergence est définit comme la valeur telle que :

  • Si , la série converge.
  • Si , la série diverge.
  • Si , la série peut diverger ou converger selon la série.

Le rayon de convergence peut être nul, non-nul ou infini et ces trois cas donnent des résultats différents en terme de convergence. Les cas où et donnent une forme indéterminée, dont un peut trouver facilement la solution. Mais hormis ces cas pathologiques, il existe toujours une valeur de la raison qui permette de faire converger la série. Pour résumer :

  • Si est non-nul et pas infini, les valeurs comprises dans l'intervalle font converger la série.
  • Si , alors la série converge pour toute valeur de la raison.
  • Si , la série converge uniquement pour .

Ce qui nous amène au point suivant.

Le lemme d'Abel[modifier | modifier le wikicode]

Prenons une valeur telle que la série entière converge (en fait, il suffit qu'elle soit bornée, mais laissons ce détail de coté). Alors, pour toute raison comprise dans l'intervalle , la série sera convergente.


Démonstration

Si , on a :

La série converge vers une valeur que nous allons noter M, ce qui donne :

Vu que , le second terme va converger.

Chaque terme du produit converge, ce qui fait que la suite complète converge elle aussi.