Les suites et séries/Les suites récurrentes linéaires

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Les suites vues dans le premier chapitre sont des suites récurrentes, qui calculent chaque terme en fonction du précédent. Certaines suites vont cependant un peu plus loin et calculent chaque terme en fonction des deux précédents, des trois précédents, voire de tous les termes précédents ! Le cas les plus simples vont se contenter d'additionner les termes précédents. D'autres suites vont encore plus généraliser les fonctions précédentes, on ajoutant une caractéristique des suites géométriques : l'usage d'une multiplication par une constante. Pour cela, les termes sont tous additionnés, mais seulement après avoir été multipliés par une constante. Ces suites sont les suites récurrentes linéaires. On peut les voir comme une généralisation des suites arithmético-géométriques, ce qui transparait dans leur définition. Ces fonctions sont décrites par l'équation de récurrence suivante :

Le nombre de termes utilisés pour calculer le prochain porte un nom : c'est l'ordre de la suite. Les suites arithmétiques sont par exemple des suites récurrentes linéaires d'ordre 0, les suites arithmético-géométriques sont des suites d'ordre 0.

Les suites récurrentes linéaires d'ordre 2[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons surtout étudier les suites d'ordre 2, à savoir celles de la forme suivante :

On souhaite obtenir une forme paramétrée de cette suite, ce qui est assez facile à obtenir. Pour cela, il suffit de faire intervenir une équation du second degré, ce qui est simple à manipuler. L'équation en question est celle-ci :

Les racines de cette équation sont notées et . On se retrouve alors dans deux cas :

  • les deux racines sont différentes : la formule paramétrée est alors égale à : .
  • les deux racines sont égales : la formule paramétrée est alors égale à : .

Les constantes et sont deux constantes qui se déterminent à partir de la valeur des deux premiers termes de la suite. On a naturellement les conditions suivantes :

  •  ;
  • .

Les suites de type "Lucas"[modifier | modifier le wikicode]

Le cas le plus simple de suite récurrente linéaire d'ordre 2 est celui où chaque terme est la somme des deux précédents.

Toutes les équations de ce genre ont un rapport avec le nombre d'or , un nombre égal à , très souvent abordé dans les ouvrages de mathématiques amusantes. Ce lien vient du fait que ce nombre d'or est une des deux racines de l'équation caractéristique. Il apparait donc naturellement dans la recherche d'une forme paramétrée des suites de Lucas.

Le cas général[modifier | modifier le wikicode]

La formulation des suites de Lucas fait qu'il s'agit de suites récurrentes linéaires d'ordre 2 dont les coefficient a et b valent tous deux 1. L'équation caractéristique de cette récurrence est :

Cette équation possède deux racines, la première étant le fameux nombre d'or :

Vu qu'il y a deux racines différentes, on a l'équation paramétrée suivante des suites de Lucas :

.

La "limite" de la suite[modifier | modifier le wikicode]

On peut remarquer que si le rang n est assez grand, le terme : tend vers zéro, le dénominateur devant très grand. Dans ce cas, on peut le négliger, ce qui donne :

.

Le quotient de la suite[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, étudions le rapport entre deux termes consécutifs : . Ce rapport vaut, par définition :

Si l'on prend la limite, les termes et s'annulent. Dit autrement, on retrouve l'approximation de la section précédente : , ce qui donne :

On remarque que lorsque l'on prend la limite avec , ce rapport tend vers le nombre d'or.

Les cas particuliers[modifier | modifier le wikicode]

Connaitre les deux coefficients et est impossible tant que l'on n'a pas précisé quels sont les deux premiers termes. Or, il existe plusieurs suites avec cette relation récurrente, mais qui différent par leurs deux premiers termes. La plus connue est la suite de Fibonacci, une suite avec une certaine renommée, qui est souvent abordée dans les livres de mathématiques récréatives. Celle-ci est apparue pour la première fois dans un problème de mathématiques récréatives crée par Leonardo Fibonacci, qui donna son nom à cette suite. Ce problème impliquait un problème de lapins qui se reproduisent dans un enclos, ce problème étant assez connu. Une autre suite de ce genre est la suite de Lucas. Mais la plus simple est de loin la suite des puissances du nombre d'or.

La suite des puissances du nombre d'or[modifier | modifier le wikicode]

La suite des puissances du nombre d'or est la suite définie par

Il s'agit du cas particulier où et . Ses premiers termes sont naturellement :

et

Cette suite respecte bien la relation de récurrence , ce qui fait qu'on a :

Vous pouvez vérifier cela par vous-même en calculant les premières puissances du nombre d'or :

La suite de Lucas[modifier | modifier le wikicode]

La suite de Lucas a pour premiers termes 2 et 1 :

-

On peut alors calculer les coefficients gamma et lambda avec les conditions suivantes :

  •  ;
  • .

Ce qui donne :

et

On a alors la pièce finale, l'équation paramétrée de la suite de Lucas :

La voici :

La suite de Fibonacci[modifier | modifier le wikicode]

Premiers membres de la suite de Fibonacci.

Les deux premiers termes de la suite de Fibonacci sont respectivement 0 et 1, ce qui donne la suite suivante :

Fibonacci sequence - optional starting with zero

Cette suite ayant la même relation de récurrence que la suite de Lucas, elle a la même équation caractéristique et a donc les mêmes racines. Seuls les coefficients gamma et lambda changent, eux seuls étant influencés par les deux premiers termes. Dans le cas de la suite de Fibonacci, ceux-ci valent :

  •  ;
  • .

Ce qui donne :

et

On a alors la pièce finale, l'équation paramétrée de la suite de Fibonacci :

On voit que chaque terme de la suite de Fibonacci est un multiple du même terme de la suite de Lucas : la seule différence est le facteur . Après tout, les deux suites partagent la même relation de récurrence. Pas étonnant que les propriétés de la suite de Lucas se retrouvent donc dans la suite de Fibonnaci.