Les suites et séries/Les sommes partielles

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Dans les chapitres précédents, nous avons étudié les suites et leurs limites, sans nous préoccuper de ce qui se passe quand on additionne les termes d'une suite. Dans ce chapitre, nous allons étudier ce qui se passe quand on additionne tous les termes d'une suite jusqu’à un certain rang. Le résultat de cette opération est ce qu'on appelle une somme partielle, définie par l’opération : . Nous allons voir quelques sommes partielles de suites classiques, comme la somme des n premiers entiers, la somme partielle d'une suite arithmétique ou géométrique. Ces suites partielles sont un premier tremplin vers le concept final de ce cours : les séries. La différence entre somme partielle et série est assez simple à comprendre : une série additionne tous les termes d'une suite infinie, alors que la somme partielle n'en additionne qu'un nombre fini. Vous vous doutez bien qu'il vaut mieux voir le cas le plus simple, fini, avant de passer aux sommes infinies que sont les séries. D'où l'existence de ce chapitre.

Les suites de Riemann[modifier | modifier le wikicode]

Les suites de Riemann donnent quelques exemples simples de sommes partielles. Les deux cas les plus importants sont de loin les suites harmoniques et la suite de l'inverse des carrés. Leur sommes partielles se rencontrent dans de nombreuses situations en économie, en physique ou en mathématiques appliquées. Nous allons voir ces exemples l'un après l'autre, en commençant par la suite harmonique, la plus simple. Nous allons aussi voir deux cas particuliers assez intéressants : la suite des entiers et la suite des carrés.

La suite harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Pour rappel, la suite harmonique est la suite des inverses des entiers naturels. Il est parfaitement possible d'additionner les n premiers termes de la suite harmonique, ce qui donne les nombres harmoniques. Ceux-ci sont tous des nombres non-entiers, à l'exception de 1 (qui est son propre inverse). Le énième nombre harmonique est simplement la somme des n premiers termes de la suite harmonique. Il vaut :

Ce graphique montre en rouge la suite des nombres harmoniques, et en bleu la fonction logarithme népérien. On voit que les deux suites/fonctions sont assez proches.

Il y a une propriété intéressante avec ces nombres harmoniques. La suite en elle-même converge vers zéro, mais sa somme partielle ne cesse de grandir avec le rang. Si on compare les nombres harmoniques avec , on trouve que les deux valeurs sont assez similaires pour des rangs élevés. Mieux : plus le rang augmente, plus les deux valeurs se rapprochent. Cela a une conséquence assez intéressante : la différence entre un nombre harmonique et converge vers une constante appelée constante d'Euler–Mascheroni. Celle-ci vaut, par définition :

Cette constante vaut approximativement :

La suite des entiers (nombres triangulaires)[modifier | modifier le wikicode]

La suite des nombres entiers est formellement une suite de Riemann ! En effet, il s'agit de la suite de Riemann dont la raison (l'exposant) est égal à -1 :

On peut calculer la somme partielle de cette suite, qui n'est autre que la somme des n premiers entiers. La suite formée à partir des sommes partielle donne ce qu'on appelle la suite des nombres triangulaires. Les nombres triangulaires peuvent être représentés par un triangle équilatéral formé par des boules. Le nombre de boules dans le triangle est égal au nombre triangulaire voulu. Le énième terme de la suite des nombres triangulaires donne le nombre de boules pour un triangle de n boules de côté.

Les premiers nombres triangulaires

La relation de récurrence[modifier | modifier le wikicode]

Cette suite est tout simplement de la somme des n premiers entiers. Cette définition nous permet d'obtenir aisément sa forme récurrente. Il s'agit d'une suite définie par :

Un bon moyen de s'en rendre compte est de calculer les termes de cette suite et de calculer la différence entre termes consécutifs. Le tableau ci-dessous montre que cette différence entre termes consécutifs est égale au rang.

La suite des nombres triangulaires
Terme 1 3 6 10 15 21 28 ...
Rang 1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 3 4 5 6 7 ...

La relation paramétrée[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la forme paramétrée de cette suite est assez simple pour qui est suffisamment ingénieux. La légende veut que le mathématicien Gauss aie découvert cette formule alors qu’il était au primaire, bien que ce soit sans doute une idée reçue. Cette légende prétend que son professeur avait donné comme exercice le calcul des 100 premiers entiers. Là où ses camarades de classe firent les calculs à la main, Gauss procéda autrement. Il pris la suite des nombres entiers jusqu’à 100 et créa une seconde suite identique, mais de sens inverse. Il additionna alors les deux et trouva ceci :

  • 1 + 100 = 101 ;
  • 2 + 99 = 101 ;
  • 3 + 98 = 101 ;
  • … ;
  • 49 + 52 = 101 ;
  • 50 + 51 = 101 ;
  • … ;
  • 98 + 3 = 101 ;
  • 99 + 2 = 101 ;
  • 100 + 1 = 101.

En additionnant la suite des n premiers entiers avec elle-même, il se retrouvait avec 100 fois 101 : . Le calcul de la somme partielle est alors aisé.

Illustration géométrique de la somme des n premiers entiers.

On peut généraliser ce raisonnement pour toute suite de n nombres entiers consécutifs. Pour cette suite, on a :

Donc, si on additionne la suite S avec elle-même, on a :

D'où :

La suite des carrés (nombres pyramidaux carrés)[modifier | modifier le wikicode]

Après avoir vu la somme des n premiers entiers, nous allons poursuivre en voyant la somme de leurs carrés. Encore une fois, il s'agit d'une suite de Riemann, dont la forme est la suivante :

Illustration du quatrième nombre pyramidale.

Cette somme peut se représenter sous la forme d'une figure géométrique, comme les nombres triangulaires. Mais cette forme est en trois dimension : c'est une pyramide dont la base est carrée. D'où le nom de nombres pyramidaux carrés donné aux nombres provenant d'une somme des n premiers carrés.

La somme des n premiers carrés, qui n'est autre que le énième nombre pyramidal carré, vaut :


Démonstration

Pour démontrer cette formule, nous allons utiliser les notations suivantes pour la somme des n premiers entiers, des n premiers carrés et des n premiers cubes :

Pour faire la démonstration, nous allons partir du développement du cube de n+1 :

Appliquons maintenant cette formule sur tous les nombres de 1 à n + 1 :

  • ...

Additionnons le tout en colonnes. On trouve alors :

Or, on voit que vaut, par définition . Faisons le remplacement :

Développons  :

Or, on sait que : , ce qui donne :

Mettons au même dénominateur :

CQFD !!

Les suites arithmétiques[modifier | modifier le wikicode]

Raisonnement généralisé dans le cas d'une progression arithmétique quelconque.

La somme partielle d'une suite arithmétique se calcule en additionnant les n premiers termes de la suite :

Remplaçons chaque terme par sa valeur paramétrée dans l'équation précédente :

Factorisons le terme  :

Factorisons maintenant  :

Le terme de droite : n'est autre que la somme des n premiers entiers, et vaut comme on l'a vu plus haut. On a alors :

Factorisons  :

On peut alors utiliser l'équation , ce qui simplifie l'équation précédente en :

La somme des n premiers nombres impairs[modifier | modifier le wikicode]

La relation précédente vaut pour toutes les suites arithmétiques. Certaines donnent, quand on utilise cette formule, des résultats intéressants. Tel est le cas de la suite des nombres impairs, dont la somme partielle est la suivante :

La somme des n premiers nombres impairs donne donc le énième carré !


Démonstration

La suite des nombres impairs est par définition une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. On peut alors réutiliser la formule de calcul d'une somme partielle arithmétiques, qui est pour rappel :

Le énième nombre impair est par définition égal à : , alors que . En injectant dans l'équation précédente, on a :


Démonstration

On peut remarquer que cette somme partielle donne aussi des nombres figurés, que l'on peut représenter par des figures géométriques, comme pour les nombres triangulaires. Sauf que cette fois-ci, le triangle est remplacé par un carré.

Polygonal Number 4

La somme des n premiers nombres de la forme 3n + 1[modifier | modifier le wikicode]

Nombres pentagonaux.

Maintenant, il est temps de voir la somme partielle de la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 1. Cette série donne aussi des nombres figurés, qui peuvent être représentés par un pentagone. La figure de droite illustre ce point. Cette suite est celle des nombres pentagonaux.

Cette série est obtenue en additionnant les n premiers nombres de la forme 3n + 1. Voici sa formule :

La somme est distributive, associative et commutative pour l'addition, ce qui permet de reformuler l'équation précédente en :

Le terme de droite vaut, par définition, n :

Le terme est le énième nombre triangulaire, soit .

On trouve donc :

Les autres nombres polygonaux[modifier | modifier le wikicode]

Nombres hexagonaux.

On pourrait poursuivre et parler des nombres hexagonaux et heptagonaux et de bien d'autres. Mais nous n’allons pas le faire, ce qui serait trop répétitif. Tout ce que l'on peut dire, c'est que les suites de nombres de la forme 4n + 1, 5n + 1, 6n + 1 et autres ont des sommes partielle représentables sous la forme de polygones réguliers (pour rappel, les polygones réguliers sont des figures géométriques avec des côtés de même longueur et des angles identiques). La formule des sommes partielles arthmétiques permet de calculer leur valeur assez simplement.

Les suites géométriques[modifier | modifier le wikicode]

Dans la section précédente, nous avons montré que la formule d'une somme partielle arithmétique se déduisait d'un cas particulier : le cas de la somme des n premiers entiers. Toute somme partielle arithmétique a pour résultat une fonction affine de la somme des n premiers entiers : on doit multiplier cette somme par la raison et ajouter le premier terme (multiplié par le rang). Pour les séries géométriques, la situation est similaire, à savoir que toute somme partielle géométrique est un multiple d'un cas particulier. Ce cas particulier correspond au cas où le premier terme vaut 1.

Les suites avec premier terme unitaire[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons démontrer le résultat pour les séries géométriques où le premier terme vaut 1, qui sont de la forme :

Multiplions l'expression précédente par la raison. On a alors :

Soustrayons cette expression à la valeur de la suite initiale :

Le cas général[modifier | modifier le wikicode]

La somme partielle d'une suite géométrique se calcule, par définition, en additionnant les n premiers termes de la suite (qui vont des rangs 0 à ) :

Remplaçons chaque terme par son expression paramétrée .

Factorisons  :

Le second terme n'est autre que le cas particulier étudié dans la section précédente, ce qui donne :

Il vient alors :

Un exemple : la somme partielle des puissances de deux[modifier | modifier le wikicode]

Étudions maintenant un cas particulier assez intéressant pour les informaticiens : la somme des n premières puissances de deux. Toute personne qui s'y connait suffisamment en numération binaire voit où je veux en venir avec cet exemple. Par définition, la suite des puissances de deux est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1. La formule plus haut nous dit alors que la somme des n premières puissances de deux vaut :

On voit donc que la somme des n premières puissances de deux est égal à la puissance de deux immédiatement supérieure, retranchée de 1 :

Cette propriété est très utile pour faire des calculs en binaire ou pour faire quelques démonstrations assez importantes. Il s'agit d'une propriété absolument essentielle de la numération binaire.

Un second exemple : la somme partielle des inverses des puissances de deux[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, nous allons voir un second exemple : la somme partielle des inverses de , définie par :

Il s'agit d'une suite géométrique de raison et de premier terme égal à . La formule donne donc :

On peut prouver cette équation d'une autre manière, donnée dans la démonstration suivante.


Démonstration

Repartons de l'équation :

Mettons tout au même dénominateur :

Or, on a vu juste dans la précédente section que : . En faisant le remplacement, on a :

Les suites arithmético-géométriques[modifier | modifier le wikicode]

La somme partielle d'une suite arithmético-géométrique est assez simple à calculer quand on sait comment calculer une somme partielle arithmétique et une somme partielle géométrique. Reprenons la formule pour le calcul du terme d'une suite arithmético-géométrique :

avec

Faisons la somme des n premiers termes :

En faisant le remplacement avec , on trouve :

Quelques suites moins importantes[modifier | modifier le wikicode]

Après avoir vu les indispensables suites de Riemann et arithmético-géométriques, nous allons étudier d'autres suites moins importantes. Certaines des suites que nous allons étudier ont étés abordées dans les chapitres précédents.

La suite du produit de deux entiers consécutifs[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, nous allons étudier la suite suivante :

On peut alors démontrer que :

On peut remarquer que cette suite a une légére ressemblance avec les équations des sommes partielles de carrés et des n premiers entiers. Ce n'est pas un hasard, comme la démonstration ci-dessous va vous le montrer.


Démonstration

Le terme de gauche est la somme des n premiers carrés et celui de droite celle des n premiers entiers. En faisant le remplacement, on a :

L'inverse de la suite précédente[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, nous allons reprendre la même suite, si ce n'est que nous allons prendre l'inverse de chaque terme. En clair, nous allons étudier la suite suivante :

On peut démontrer que :


Démonstration

Cette propriété se démontre assez facilement en utilisant une preuve par induction.

Initialisation :

On doit commencer par vérifier que cette relation se vérifie pour le premier terme. C'est le cas, comme le prouvent les calculs suivants :

Pour ,
Pour ,

Récurrence :

Si on suppose que la relation à prouver est valable pour n, alors elle doit l'être aussi pour n + 1. Il faut donc prouver la relation suivante :

Par définition, on a :

On peut remarquer que  :

CQFD !

La suite de Fibonacci[modifier | modifier le wikicode]

La somme partielle des n premiers nombres de Fibonacci a une expression assez simple. Si on note le énième nombre de Fibonacci, on a :

Pour ,


Démonstration

Cette propriété se démontre assez facilement en utilisant une preuve par induction.

Initialisation :

On doit commencer par vérifier que cette relation se vérifie pour les trois premiers termes :

Ce qui est le cas :

Récurrence :

Si on suppose que la relation est valable pour n, alors elle doit l'être aussi pour n + 1. Il faut donc prouver la relation suivante :

Par définition, on a :

Or, on a, par supposition : . On peut faire le remplacement dans l'équation précédente, ce qui donne :

On applique alors la définition des nombres de Fibonacci, qui dit que : . On a alors :

CQFD !

Les suites télescopiques[modifier | modifier le wikicode]

Les sommes télescopiques sont les sommes partielles de la forme :

Pour

On peut facilement démontrer que ces sommes convergent vers :

Pour

En effet, développons l'expression :

Pour

On peut changer l'ordre des termes, ce qui donne :

Pour