Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/le problème de Schwarzschild

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Personnellement, aucun intérêt.

mais camouflet : oui , mais vous ne savez pas traiter le 43"/siècle de l'avance du périhélie! Certes! Voici la solution :

Notations[modifier | modifier le wikicode]

soit E un évènement (x, y, z, t) de R^4 , muni d'une métrique riemannienne , de sorte que à une géodésique corresponde un mouvement d'une particule-test dans le champ central d'une masse M . La correction à apporter à la métrique de la relativité restreinte [ ds² = c² dt² - dx²- dy²-dz²] est : ds² = [c²-2 GM/r]dt² - dr²(correction) +r² dtheta²], avec correction := 1/(1-2GM/c²r).

(on a supposé pour simplifier la trajectoire plane , et pris les coordonnées polaires).

Dans ces conditions, le problème s'écrit dans les variables de Clairaut-Binet :

[du/d(theta)]² + u² - (2GM/K) u = E -correction , avec correction : = 2GM/c² .u^3

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

A part la correction, on reconnaît le problème usuel , et la résolution conduit donc à l'ellipse de Kepler usuelle.

La correction introduit donc un polynôme du 3ème degré ; donc la solution s'exprime à l'aide des fonctions elliptiques de Jacobi.

ce qui conduit à la solution de Schwarzschild.

Cas de Mercure[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce cas , périhélie et aphélie sont de distances voisines , soit u = A et u = P .

Donc l'équation s'écrit :

[du/d(theta)]² = 2GM/c²(u-A)(P-u)(C-u) avec 1/(2GM/c²) = A+P + C , donc C très grand (le rayon de Schwarzschild du Soleil 2GM/c² = Ro étant très petit).

On est donc ramené au problème usuel d'une "équation dite de Newton" (cf leçon sur diagramme des espaces).

De l'aphélie au périhélie, la trajectoire tourne autour de O d'un angle qui n'est pas Pi , mais très légèrement différent :

Dans le crochet, remplaçons approximativement u par (A+P)/2 ; et il vient la correction :

theta : = Pi /sqrt[1- 3/2(A+P)Ro] soit une AVANCE du périhélie qui est la formule usuelle donnée en pâture aux braves gens :

6Pi . (v²/c²)/(1-e²)

elle donne bien 43"/siècle dans le cas de Mercure (a = 0.38709 UA; e= 0.20562). Et on peut même faire le calcul pour la Terre (prendre v = 30km/s et e = 0.01674) et se trouver fort savant.

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Einstein a bricolé qq ch dans ce goût. Bien sûr, ce sont ces mêmes équations qui interviennent dans la théorie des trous noirs. Mais on n'apprend pas la relativité générale comme cela!

Retour[modifier | modifier le wikicode]