Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/quelques exercices

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Nous noterons ici quelques exercices (classiques ?) , de niveau très variable. Ils se ramènent presque tous à des équations différentielles que l'on doit (?) connaître.

Exercices de cinématique[modifier | modifier le wikicode]

Lièvre et Tortue[modifier | modifier le wikicode]

Cet exercice fait très vite comprendre la différence entre diagramme horaire et diagramme de phase :

Le lièvre L ne fait d'abord que 100 m en une heure. Il s'aperçoit alors de son retard sur dame Tortue T qui trotte à 200 m/h. Deux cas : il double sa vitesse toutes les heures ; ou il double sa vitesse tous les hectomètres ultérieurs. Où et quand croise-t-il dame Tortue ?

Réponse :

1er cas : en gros sa vitesse est exponentielle du temps ; donc x(t) aussi. 2e cas : sa vitesse est exp kx ! il arrive à l'infini en un temps fini!

plus précisément :

  • 1/.tracer x(t) : 1 h -> 100 m ; 2 h -> 100 + 200 = 300 m et T à 400 m ; 3 h -> 100 + 200 + 400 = 700 m et T à 600 m : donc croisement entre 2 h et 3 h :

x(t) = 200 t = 300 + 400 (t - 2) solution : t = 2,5 h et x = 500 m.

  • 2/.tracer t(x) : 100 m -> 1 h ; 200 m -> 1 + 1/2 h ; 300 m ->1 + 1/2 + 1/4 h ; l'infini en 2 h ! donc t < 2 h : à 300 m, T a 50 m d'avance, qu'elle perd en 5 min : solution : t = 60 + 30 + 15 + 5 = 1 h 50 min et x = 366,7 m (référence : entendu sur F-musique).

L'âne et la rivière[modifier | modifier le wikicode]

la rivière (R) est droite : y = kx (disons k = 1/2). L'âne Aliboron à t = 0 en x = a (disons 2 km) doit porter son bât au douar D (x = b ; disons 10 km), mais doit se désaltérer une fois à la rivière (t compté négligeable). Date d'arrivée ? (vitesse V : disons 4 km/h)

Réponse :

Prendre le symétrique de D par rapport à (R), soit D' : date d'arrivée = AD'/V (A.N. : sqrt[ (6-2)² + (8-0)²)/4 ] = sqrt(5) = 2.23 h ) (référence : cours d'optique X , ou tout cours sur Fermat et chemin minimal).

Vent et avion[modifier | modifier le wikicode]

3 villes A, B, C forment un triangle équilatéral de côté a. Un vent de vitesse V souffle. Un avion volant ordinairement à la vitesse u met le temps T pour joindre AB , mais 3/2.T pour joindre BC et 3/2.T pour regagner A : déterminer V en fonction de a/T = v

Plus dur ? AB en T1 , BC en T2 et CA en T3 : déterminer V

Réponse :

Soit A(0;0) B(a;0) : la symétrie du problème indique que V = + V.i . Composer alors les vitesses et trouver V(A->B) par Al-Kashi : u + V = v . De même V(B->C) = V(C->B) = sqrt[u²+ V² - uV sqrt(3)] = 2/3.v , soit uV = v.5/9.(2-sqrt(3)) : somme et produit donnent u et V (u>V).

Plus dur ? Oui, c'est vrai . D'un point O quelconque tracer a/T1. AB/a = OH1 ; de même OH2 et OH3 . Tracer I centre du cercle circonscrit au triangle H1H2H3 : la vitesse du vent est OI. On pourra recalculer la vitesse précédente pour contrôle. (référence : Metcherskii et ESG)

Un Problème de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

L'énoncé est très simple ; la solution est dure ; la réponse très difficile.

Dans le plan , tois vecteurs tournants V1 = A1.expi(w1t) , V2 et V3 . Et A1, A2 et A3 peuvent former un triangle, et les 3 pulsations sont incommensurables (w1.k1 +w2.k2 +w3.k3 = 0 , K : = (k1,k2,k3) sur Z^3 donne K = 0).

Soit S le vecteur somme d'argument theta(t) : trouver lim [theta(t)/t ] pour t grand.

Réponse :

classique.Bohl , Weyl , Arnold, ...

Solution : moyenne des wi pondérées par les angles du triangle (évidemment divisés par Pi). Pour s'en convaincre, prendre suffisamment de cas particuliers , et les traiter avec un logiciel (Scilab par exemple).

la réponse est vraiment plus difficile à cause du mot incommensurable !

Hooke et ses elliptoïdes[modifier | modifier le wikicode]

je ne sais si cela est vrai ; il faut que je vérifie encore ; voici :

Hooke est réputé avoir trouvé la solution de l'ellipse de Hooke pour le mouvement de rappel selon la force-de-Hooke. On sait par ailleurs la célèbre querelle qui l'opposa à Newton pour essayer de savoir si le mouvement des planètes correspondait à une attraction en 1/d^2. Il est sûr que cette loi en 1/d^2 avait déjà été proposée. Ce qui est en cause est : Hooke l'avait-il "démontré" ? Il est probable qu'il a utilisé la même méthode graphique que celle qu'il avait utilisée antérieurement. Il a parlé d'elliptoïdes ! On sait que Newton a rageusement détruit pas mal de papiers de Hooke, dès qu'il le remplaça à la Royal Society. On "doit" à Hooke de le réhabiliter, face au grand-Newton. C'est l'objet de ce petit exercice ( à développer).

Soit un phare O et un mouvement autour de ce phare O, tel que la vitesse V du point M soit constante Vo et perpendiculaire à la direction du vecteur .

On montre aisément que le mouvement est circulaire uniforme autour de O.

Maintenant voici "l'astuce" :

imaginer qu'un courant descendant ( selon -Oy) croisse doucement de 0 pour se stabiliser à la valeur V1 ( inférieure à Vo, disons égale à e.Vo): montrer que la trajectoire se décale progressivement vers la droite , et qu'elle reste ELLIPTIQUE. Cela est très joli à voir en animation sous Maple. Qui plus est, montrer que ce mouvement correspond à une accélération en 1/d² où d = OM.

Peut-on trouver qualitativement les symétries de ce mouvement :

,

avec vec{Vo} = k . Vo perpendiculaire au plan.


Exercices de dynamique , très classiques[modifier | modifier le wikicode]

Résonance cyclotron[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan xOy , une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo. k et au champ électrique Eo(i . cos (wt) + j . son(wt) ) et à une résistance fluide -m/tau .V . On appellera Wo = -q/m Bo la pulsation cyclotron . Trouver le régime stationnaire .Discuter la puissance absorbée.

Réponse :

classique

Larmor[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan xOy une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo k. Ayant la vitesse Vo.i (à t=0, x=0;y=0), trouver son mouvement.

On examine maintenant ce mouvement dans le référentiel R' qui tourne aotour de l'axe (O, k) à la vitesse angulaire de Larmor = -1/2 . q/m. Bo. k . Dans ce référentiel montrer que le mouvement est perçu comme rectiligne en appliquant les formules du PFD dans R'. Retrouver alors la question 1 , géométriquement.

Réponse :

classique.

monopôle magnétique et Stormer[modifier | modifier le wikicode]

Touver le mouvement de (q, m) régit par m a = q V/\B , avec B = OM/ OM^3 .Bo.ro². Il s'agit du problème des aurores polaires; historiquement Stormer a trouvé l'intégrale première qui " débloque la solution" (penser au vecteur excentricité pour Kepler qui avait eu le même effet. La réponse "moderne" est liée à une "symétrie cachée"; cf par exemple CORDANI).

Réponse :

classique

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Evidemment le problème est : où s'arrêter ? dans ce répertoire quasiment sans fin.


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