Mécanique du point matériel / Cinématique

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La cinématique est l’étude des mouvements, sans tenir compte des causes qui le produisent. On s’intéresse uniquement à la notion de l’espace et du temps. Selon le principe de l’universalité du temps de la mécanique newtonienne, le temps est universel.

  1. Point matériel : on appelle point matériel tout échantillon de matière de très petite taille. Mais un point matériel doit posséder la symétrie sphérique, ce qui n’est pas le cas de beaucoup de corps mêmes très petits. Le meilleur modèle du point matériel serait une sphère homogène et isotrope. La notion de point matériel est assez difficile à définir, la propriété de petitesse n’est pas non plus nécessaire : ainsi la Terre dans son mouvement par rapport au Soleil peut être assimilée à son centre de gravité avec une excellente approximation. Ainsi le centre de masse d’un solide peut être considéré comme un type de point matériel.
  2. Le repère d'espace : soit un point O de l'espace affine E et une base orthonormée de l'espace vectoriel (E).

R est le repère d'espace. Au point M, on associe le triplet de réels x, y, z tels que : Si une particule ponctuelle P est vue en M, la position de P est donc M. et est le vecteur position. x,y,z sont les coordonnées cartésiennes de M.

  1. La trajectoire

Soit une application M(t) qui à tout instant t fait correspondre la position M du mobile P. Définition La trajectoire (AB) du mobile P est l’ensemble des points M(t) traversés par le mobile P pour aller de A à B durant [tA, tB] intervalle de définition.





L'équation cartésienne, de la trajectoire du mobile P, est une relation qui relie les coordonnées cartésiennes du vecteur position, en éliminant le temps entre elles.


  1. Vitesse d’un point matériel par rapport à un référentiel R.


Soit A un point matériel qui se déplace dans l’espace lié à un référentiel R (O,x ,y ,z) muni d’une base orthonormée directe. La vitesse du point A par rapport au référentiel R est le vecteur noté : ou plus simplement est défini par :

, l’expression par rapport à R signifie : pour un observateur lié à R  les vecteurs de la base   sont donc  fixes, c’est - à – dire,  indépendants du temps.
  1. Accélération d’un point matériel par rapport à un référentiel R.

Définition :

L’accélération d’un point A par rapport à un référentiel R est le vecteur noté défini par :

a- Composantes cartésiennes :



b- Composantes cylindriques :

Il est souvent commode de représenter le vecteur position dans la base cylindrique .

Le vecteur vitesse de A, par rapport au repère cartésien absolu R(Ox,y,z), exprimée dans la base cylindrique , s’écrit :


 ;             

L’expression de l’accélération en coordonnées cylindriques s’écrit :



c- Composantes sphériques :


   ;



Or :  ;

              ;                


Finalement l’accélération en coordonnées sphériques s’écrit :






d- Composantes dans la base de Frenet ou composantes intrinsèques

La base de Frenet est définie en un point A de la trajectoire C par les trois vecteurs unitaires suivants : tangent à la trajectoire, normal à la trajectoire tel que : , où s désigne l’abscisse curviligne sur C orientée et Rc le rayon de courbure en ce point.

. Le plan A,  ,   est appelé plan osculateur.









Abscisse curviligne :

Si A0 est la position de M sur sa trajectoire C à l’instant (t=0), on appelle abscisse curviligne de M la longueur algébrique s(t) de l’arc AM de la trajectoire orienté dans le sens t croissant (sens du mouvement). Dans ces conditions l’accroissement de l’abscisse curviligne de M correspondant à l’intervalle (t’-t) est : arcMM’=s(t’)-s(t).

et par suite :

t’=t+dt


Expression de la vitesse :



le vecteur s’identifie à





Expression de l’accélération




Rc est donc le rayon du cercle tangent intérieurement à la trajectoire. 1/Rc est appelée la courbure de la trajectoire.


Or : Donc : Le premier terme est l’accélération tangentielle à la trajectoire : Le deuxième terme est l’accélération normale à la trajectoire :


6- L’hodographe

L’hodographe par rapport à l’origine O, d’un point matériel M, animé d’une vitesse , est l’ensemble des points H tels que :


En éliminant le temps entre Les coordonnées de H on obtient l’équation de l’hodographe. L’équation cartésienne de cette dernière relation donne la nature de la courbe de l’Hodographe.

Géométriquement, on obtient la courbe de l’hodographe, par rapport à l’origine, en traçant la vitesse en chaque point M de sa trajectoire et en translatant ces vecteurs vitesses vers l’origine O, les pointes de ces vecteurs vitesses translatés à l’origine, constituent ce que l’on appelle l’hodographe par rapport à l’origine, du point matériel M.


Chapitre : 2 Composition des mouvements

Considérons deux référentiels R et R’ en mouvement quelconque l’un par rapport à l’autre. (en fait R est absolu fixe et R’ en mouvement quelconque par rapport à R’(de ce fait R est lui aussi en mouvement quelconque par rapport à R’)) Quelles relations existe-t-il entre les grandeurs cinématiques (vitesse et accélération) d’un même point M relativement à R et R’ ?

Tout d’abord on va établir la relation entre les dérivées d’un même vecteur par rapport au temps relativement à deux référentiels R et R’.

1- Dérivées par rapport au référentiel fixe R(O, ) des vecteurs de la base du référentiel mobile R’(O', ).









Les dérivées des vecteurs unitaires mobiles : , sont nécessaires pour la suite du cours.


La base ( ) étant orthonormée, on a les relatons suivantes:

,  ,   et  

Par dérivation de ces six relations on obtient:

  (1)      et            (2)


Remplaçons les valeurs de (2) dans les relations (1):


Ce qui donne :

  (3)

Introduisons un vecteur dit vecteur rotation de R' par rapport à R:


Remarque : Ici représente la forme la plus complexe de la rotation. Le mouvement quelconque est décomposable en rotations plus des translations mais la translation garde les vecteurs de la base en mouvement constant dans le temps, il ne reste plus que la rotation qu’il faut considérer sous sa forme la plus complexe (rotation autour de trois axes).

Calculons :


  (4)


En comparant (3) et (4):



Le vecteur rotation permet d'écrire la relation générale :


; ( )               


1) Dérivées d’un vecteur par rapport au temps, relatives à R et R’

Soit un vecteur de composantes x, y, z dans R et x’, y’, z’ dans R’.

  et  

À partir de :



Or : , avec la vitesse angulaire R’ par rapport à R .




- lorsque R et R’ sont en translation : - lorsque est lié à R’ : -

2°) Composition des vitesses angulaires

Soient deux points M1et M2 liés au repère R2. R2 tourne avec la vitesse par rapport à R1 et R1 tourne avec la vitesse par rapport à R0.

 ; 

 Or :   

Donc : D’où :


3°) Composition des vitesses



avec : , la vitesse relative et , la vitesse d’entraînement.

La vitesse d’entraînement est la vitesse de M lorsque M reste fixe dans R’.




Exemples :

- nageur traversant une rivière d’une rive A à la rive B






- une personne qui marche dans un couloir du train selon qu’il marche dans le sens de marche du train ou non





 est appelée la vitesse de rotation angulaire de R’ par rapport à R.

Soient A et B deux points liés à R’.

 et  

Entre ces deux relations je déduis :


Différents mouvements de R’ par rapport à R

a- Translation

Le repère R’ a un mouvement de translation par rapport à R, Un vecteur lié à R’ ne change ni le module ni le sens, il est donc constant par rapport à R.

 donc :   donc obligatoirement  =0

Tous les points M liés à R’ ont même vitesse et accélération.


b- Rotation autour d’un axe commun à R et R’

Les points situés sur cet axe commun à R et R’ noté OZ (O et O’ sont confondus), ont une vitesse nulle.

La vitesse d’un point A de R’ s’écrit : D’autre part, le point A décrit un cercle de centre H et de rayon AH, H étant la projection de A sur OZ.


comme :

La comparaison des deux expressions de la vitesse montre que est porté par l’axe de rotation OZ et de composante sur OZ égale .

En effet :


le vecteur rotation ne peut être que porte par l4axe z


4°) Composition des accélérations










avec




L’accélération d’entraînement est l’accélération d’un point fixe dans R’, elle est la même pour tout point M.

L’accélération d’entraînement est différente de la dérivée de la vitesse d’entraînement :


Elles ne sont égales que dans le cas où : ou . En effet :





, est l’accélération complémentaire. Elle porte aussi le nom d’accélération de Coriolis car elle engendre la force d’inertie de Coriolis.

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