Manuel de géométrie vectorielle/Barycentre de 2 points pondérés

Les démonstrations des résultats de ce chapitre font partie intégrante du cours et doivent savoir être refaites. En effet, les méthodes employées dans de très nombreux exercices reposent sur les mêmes manipulations.

Définition

Définition

Soient A et B deux points du plan. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels vérifiant $\alpha +\beta \not =0$. Le barycentre du système de points pondérés $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$ est l'unique point G qui vérifie : $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}={\vec {0}}$ Si $\alpha +\beta =0$, le barycentre n'existe pas.

Cette définition est fondamentale car elle est le point de départ de nombreux exercices sur les barycentres

Construction du barycentre

L’égalité $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}={\vec {0}}$ définissant le barycentre ne permet pas telle quelle de construire le point G, car il apparaît deux fois dans cette égalité. Quelques calculs qu’il est indispensable savoir refaire sur des exemples concrets permettent d’obtenir la formule suivante. Celle-ci permet de construire le barycentre d’un système de deux points pondérés.

Propriété

Soit G le barycentre du système de points pondérés $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$ (avec $\alpha +\beta \not =0$). Alors : ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {\beta }{\alpha +\beta }}{\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {BG}}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}{\overrightarrow {\rm {BA}}}$

Le principe de la démonstration qui suit est important : si l’on veut obtenir la localisation de G à partir de A, il faut utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître A au milieu de tous les vecteurs où il n’est pas déjà.

Démonstration

On écrit tout d’abord la définition du barycentre : $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}={\vec {0}}$ D’après la relation de Chasles, ${\overrightarrow {\rm {GB}}}={\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AB}}}$. On obtient : $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta \left({\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AB}}}\right)={\vec {0}}$ En regroupant les termes ${\overrightarrow {\rm {GA}}}$ : $(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}={\vec {0}}$ Puis en isolant ${\overrightarrow {\rm {GA}}}$ dans le membre de droite : $(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GA}}}=-\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}$ $(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {AG}}}=\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}$ Finalement on obtient le résultat : ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\cfrac {\beta }{\alpha +\beta }}{\overrightarrow {\rm {AB}}}$ La division par $\alpha +\beta$ montre la nécessité d’avoir $\alpha +\beta \not =0$.

On démontre l’autre égalité de la même manière, c’est un bon exercice.

Cette égalité montre également le caractère unique du barycentre tel qu’énoncé dans la définition.

Alignement

D'après la définition du barycentre G du système de points pondérés $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$, $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}={\vec {0}}$.

En écrivant cette égalité sous la forme $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}=-\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}$, on en déduit que les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {GA}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {GB}}}$ sont colinéaires. D'où la propriété :

Propriété

Les points A, B et G sont alignés

Comme ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {\beta }{\alpha +\beta }}{\overrightarrow {\rm {AB}}}$, alors $G\in ({\rm {AB}})$

Réduction

Propriété de réduction

Soit M un point quelconque du plan et G le barycentre du système de points pondérés $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$, alors : $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}=(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {MG}}}$

Le principe de la démonstration qui suit est important : la relation de Chasles permet d'introduire un nouveau point dans la formule de définition. Cette idée revient souvent dans les exercices de ce type.

Intérêts :

• Ramener un problème mettant en jeu plusieurs points (A,B) à un problème mettant en jeu un seul point (G)
• Calculer explicitement les coordonnées du barycentre en faisant M=O

Démonstration

Dans l'expression $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}$, on fait apparaître le point G à l'aide de la relation de Chasles : $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}=\alpha \left({\overrightarrow {\rm {MG}}}+{\overrightarrow {\rm {GA}}}\right)+\beta \left({\overrightarrow {\rm {MG}}}+{\overrightarrow {\rm {GB}}}\right)$ ${\begin{matrix}\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}=\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {\rm {MG}}}+&\underbrace {\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}} \\&{\vec {0}}\end{matrix}}$ Puis G étant le barycentre du système $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$ on a : $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}=\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {\rm {MG}}}$

Dans l'expression $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}$ qui dépend deux fois du point M, l'introduction d'un barycentre a permis de réduire le nombre d'occurrences du point M à une seule.

Invariance par multiplication par un réel non nul

Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de deux points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.

Démonstration

G barycentre du système de points pondérés $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$ est équivalent à $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}={\vec {0}}$ est équivalent à $k\left(\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}\right)={\vec {0}}$ est équivalent à $k\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+k\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}={\vec {0}}$ est équivalent à G barycentre du système de points pondérés $\left\{(A,k\alpha );(B,k\beta )\right\}$, car comme $k\not =0$ et que $\alpha +\beta \not =0$, on a bien $k\alpha +k\beta \not =0$

Isobarycentre

Définition

Soit I le milieu de [AB]. On sait que ${\overrightarrow {\rm {IA}}}+{\overrightarrow {\rm {IB}}}={\vec {0}}$ donc I est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1)} On dit que I est l'isobarycentre de A et B, c'est-à-dire que c'est le barycentre d'un système où A et B ont la même pondération.