Manuel de géométrie vectorielle/Barycentre de 3 points pondérés ou plus

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Barycentre de trois points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Soient A, B et C trois points. Soient , et trois réels vérifiant .

Le barycentre du système de points pondérés est l'unique point G qui vérifie

Si , le barycentre n'existe pas.

Exemple
Soit G le centre de gravité de ABC. G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1);(C,1)}.

Localisation[modifier | modifier le wikicode]

Soit G le barycentre du système de points pondérés (avec ).

On peut trouver l'emplacement de G par les trois formules suivantes :


Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés existe, c'est-à-dire

Coplanarité[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Comme , alors

Invariance par multiplication par un réel non nul[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.


Démonstration

donc

De plus, comme et que , on a bien

Donc G est le barycentre du système de points pondérés

Égalité valable en tout point[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Pour tout point M :


Attention !

Logo Les intérêts de cette formule sont multiples :

  • Ramener un problème mettant en jeu plusieurs points (A,B,C) à un problème mettant en jeu un seul point (G)
  • Calculer explicitement les coordonnées du barycentre en faisant M=O


Barycentre de n points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

On peut généraliser les propriétés des barycentres à n points pondérés.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Soient n points. Soient n réels vérifiant .

Le barycentre du système de points pondérés est l'unique point G qui vérifie

Si , le barycentre n'existe pas.


Exemple

Soit G le barycentre du système de points pondérés (qui existe car ), donc il vérifie l'égalité

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés existe, c'est-à-dire .

Invariance par multiplication par un réel non nul[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de n points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.

Égalité valable en tout point[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Pour tout point M :