Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité

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Colinéarité de deux vecteurs du plan[modifier | modifier le wikicode]

et sont parallèles : on dit que les vecteurs et sont colinéaires

La notion de colinéarité pour les vecteurs est l'équivalent de la notion de parallélisme pour les droites :

Définition

  • Deux vecteurs non nuls et sont dit colinéaires s'ils ont la même direction
  • Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.

En observant le dessin de la définition précédente on constate que . De manière générale, on a la propriété :


Propriété

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel tel que :

ou bien

Application de la colinéarité[modifier | modifier le wikicode]

Colinéarité et alignement[modifier | modifier le wikicode]

Prenons trois points alignés A, B et C comme sur le dessin suivant :

Colinéarité et alignement.svg

Les droites et sont parallèles, donc d'après la définition de deux vecteurs colinéaires, les vecteurs et sont colinéaires.

Ceci prend la forme de la propriété suivante, qui malgré sa simplicité est d'un grand intérêt pour résoudre des problèmes géométriques à l'aide de vecteurs.


Théorème

  • Si trois points A, B et C sont alignés, alors les vecteurs et sont colinéaires.
  • Si les vecteurs et sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés

Colinéarité et parallélisme[modifier | modifier le wikicode]

Cette autre propriété est une conséquence directe de la définition de vecteurs colinéaires.

Colinéarité et parallèles.svg

Les droites et sont parallèles, ce qui d'après la définition correspond à la colinéarité des vecteurs et


Théorème

  • Si les droites et sont parallèles, alors les vecteurs et sont colinéaires.
  • Si les vecteurs et sont colinéaires, alors les droites et sont parallèles

Là encore, malgré son apparente simplicité, cette propriété est d'un grand intérêt pour ramener un problème de géométrie à un problème de vecteurs.

Propriété[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soit (x;y) et (x',y') deux vecteurs aux coordonnées non nulles. et sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y = 0

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Points définis par une relation vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

Exercices

On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3),

dans le plan muni d'un repère .

NB : on choisira de petites unités, par exemple 0,5 cm pour une feuille A4.

1. Placer le point E défini par :

2. Déterminer les coordonnées de E par le calcul.

3. Placer le point F défini par :

4. Déterminer les coordonnées de F par le calcul.


Solution

Alignement[modifier | modifier le wikicode]

Exercices

Dans le plan muni d'un repère ,

on donne les points et .

Soient B et D tels que :

1. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

2. Soit M le milieu de [BD] et N celui de [AC]. Déterminer les coordonnées de M et N.

3. Démontrer qu'O, M et N sont alignés.


Solution

Combinaison linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Exercices

On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base .

1. Déterminer les coordonnées de :

2. peut-il s'écrire sous la forme :

x et y sont des nombres réels ?


Solution

Alignement et colinéarité[modifier | modifier le wikicode]

Exercices

Soit A, B et C trois points non alignés.

1. Construire le point D tel que :

2. Exprimer en fonction de et .

3. Démontrer que les points B, C et D sont alignés.


Solution

Milieu[modifier | modifier le wikicode]

Exercices

Soit A et B deux points distincts, et I le milieu de [AB].

1. Expliquer pourquoi en utilisant les mots norme,direction, sens.

2. En partant de , démontrer que :

3. En partant de , démontrer que :


Solution

Trapèze[modifier | modifier le wikicode]

Exercices

On considère dans un repère orthonormé les points :


La figure n'est pas exigée, néanmoins il est conseillé de la faire au moins au brouillon.

1. Démontrer que les vecteurs et sont colinéaires.

2. Déterminer le réel tel que :

.

3. En déduire que le quadrilatère ABCD est non croisé.

4. Démontrer que les segments et ont même longueur.

5. Conclure quant à la nature du quadrilatère ABCD en récapitulant les différentes informations.


Solution