Manuel de géométrie vectorielle/Multiplication d'un vecteur par un nombre

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Multiplication par un nombre positif[modifier | modifier le wikicode]

Observons la figure suivante.

Vecteur ku - k positif1.svg
  • On a un vecteur
  • Les points A, B et C sont tels que et

On a donc d'après la relation de Chasles

Et par conséquent

En algèbre on écrit couramment . Faisons de même pour le vecteur  :

On obtient ainsi un vecteur noté dont

  • la direction est celle du vecteur
  • le sens est celui du vecteur
  • la longueur est 2 fois celle du vecteur

On définit ainsi la multiplication d'un vecteur par un réel positif :

Définition

est un vecteur et k est un nombre positif. On note le vecteur :

  • de même direction que le vecteur
  • de même sens que le vecteur
  • de longueur k fois la longueur du vecteur


Vecteur ku - k positif2.svg
et

Multiplication par un nombre négatif[modifier | modifier le wikicode]

On vient de voir quel sens donner au vecteur . Quel sens donner au vecteur  ?

En appliquant les règles habituelles du calcul algébrique doit désigner l'opposé du vecteur .

  • On vient de voir comment construire le vecteur au paragraphe précédent.
  • On a vu l'opposé d'un vecteur dans un chapitre précédent.

On peut alors effectuer la construction suivante avec :

Vecteur ku - k négatif1.svg

Ainsi le vecteur a

  • la même direction que le vecteur
  • le sens contraire du vecteur
  • 2 fois la longueur du vecteur

On peut alors définir la multiplication d'un vecteur par un réel négatif :

Définition

est un vecteur et k est un nombre négatif. On note le vecteur :

  • de même direction que le vecteur
  • de sens opposé au vecteur
  • de longueur -k fois la longueur du vecteur


Vecteur ku - k négatif2.svg
et


Attention !

Logo Dans cette définition comme le nombre k est négatif, -k est un nombre positif. Par exemple avec , nombre négatif, on a qui est un nombre positif.


Une définition pour en remplacer deux[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Soit un vecteur et un nombre réel. On note le vecteur :

  • de norme
  • de même direction que si
  • de même sens que si ,
  • de sens opposé à si

Remarque : Si alors par définition


NB : Cette définition est cohérente avec la définition de l'addition et de l'opposé,

en ce sens que par exemple :

Règles de calcul sur les vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Les opérations sur les vecteurs ont été définies en s'inspirant des règles de calcul algébriques. Il est donc naturel d'avoir les règles suivantes de calcul sur les vecteurs :

Propriété

et sont deux vecteurs et k un nombre :

Par exemple pour construire le vecteur on peut

  • Construire le vecteur somme des vecteurs et , puis multiplier cette somme par 2:
Regles vecteur1.svg


  • Ou construire séparément les vecteurs et , puis construire la somme des deux vecteurs ainsi obtenus :
Regles vecteur2.svg

Dans les deux cas, on a construit le même vecteur en vert.


Propriété

Si est un vecteur et si a et b sont deux nombres.