Manuel de géométrie vectorielle/Théorème de l'associativité du barycentre

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Cas de trois points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

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Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soient A, B et C trois points. Soient trois réels vérifiant :

Soient:

  • G le barycentre du système de points pondérés
  • H le barycentre du système de points pondérés

Alors G est le barycentre du système de points pondérés

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Exemple

Soient :

  • A,B et C trois points,
  • G le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,2);(C,1)} (qui existe car 1+2+1 ≠ 0),
  • H le milieu de [AC].

Alors le théorème de l'associativité du barycentre assure que G est le barycentre du système de points pondérés {(B,2);(H,1+1)}, donc de {(B,2);(H,2)}, donc de {(B,1);(H,1)}.

Donc G est le milieu de [BH].

Généralisation à n points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soient n points. Soient k un entier inférieur à n et n réels vérifiant :

  • .
  • .

Soient:

  • G le barycentre du système de points pondérés
  • H le barycentre du système de points pondérés

Alors G est le barycentre du système de points pondérés


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Exemple

Soient :

  • A,B,C,D et E cinq points
  • G le barycentre du système des points pondérés {(A,1);(B,2);(C,-3);(D,1);(E,-2)} (qui existe car 1+2-3+1-2 ≠ 0)
  • H le barycentre du système des points pondérés {(B,2);(D,1);(E,-2)} (qui existe car 2+1-2 ≠ 0)

Alors le théorème de l'associativité du barycentre assure que G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(C,-3);(H,1)}

Remarques sur l'associativité du barycentre[modifier | modifier le wikicode]

Deux points importants sont à remarquer :

  • L'associativité du barycentre est utile en pratique notamment pour l'ajout d'un nouvel élément à un système de points pondérés préexistant.
  • En géométrie, la notion de barycentre est à rapprocher de la notion de moyenne pondérée en statistiques.