Mathc initiation/Fichiers h : c45

Sommaire

L'intégrale curviligne (ds,dx,dy)

En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. ... LibreTexts ... ... ... Khanacademy : introduction to the line integral ... ... ... Khanacademy : line integrals and vector fields

Définition mathématique des formes d'intégrales curvilignes:

Si C a la paramétrisation, x = g(t); y = h(t); a < t =< b Alors

   (                (b
int( f(x,y) ds = int(  f(g(t),h(t))  sqrt([g(t)'**2 + h(t)'**2]) dt 
   (C               (a

   (                 (b
int( f(x,y) dx =  int( f(g(t),h(t))  g(t)' dt 
   (C                (a    

   (                 (b
int( f(x,y) dy =  int( f(g(t),h(t))  h(t)' dt 
   (C                (a

Exemples d'application:

Si f(x,y) = 1, cela nous permet de calculer la longueur de la courbe, la méthode vue dans les courbes paramétriques.

    (          (b
 int(  ds = int( sqrt([g(t)'**2 + h(t)'**2]) dt 
    (C         (a  

Si f(x,y) est égal à la densité cela nous permet de calculer la masse de la courbe, voir quelques applications.

    (                (b
 int( f(x,y) ds = int( f(x,y) sqrt([g(t)'**2 + h(t)'**2]) dt 
    (C               (a  

En langage C:

Pour la forme ds, nous allons modifier la fonction de l'intégrale standard pour qu'elle travaille sur une fonction f définie paramétriquement par deux fonction de t, g(t) et h(t), multiplié par sqrt([g(t)'**2 + h(t)'**2]) des formes curviligne.

   t  = (a + i*(b-a)/n);                             |    x  = (a + i*(b-a)/n);        
                                                     |  
  /* f(g(t),h(t)) * sqrt([g(t)'**2 + h(t)'**2]) */   |     /* Standard */
                                                     |
  M += m  *    (P_f)((*P_g)(t), (*P_h)(t))    *      |     M += m * (*P_f)(x);  
                                                     |            
              sqrt( pow( fx_x((*P_g),t,H) ,2) +      | 
                    pow( fx_x((*P_h),t,H) ,2)   );   |

Pour les forme dx et dy, nous allons modifier la fonction de l'intégrale standard pour qu'elle travaille sur une fonction f définie paramétriquement par deux fonction de t, g(t) et h(t), multiplié par la dérivé de g(t) ou de h(t).

Exemple pour dx.

     t  = (a + i*(b-a)/n);                     |      x  = (a + i*(b-a)/n);        
                                               |
      /* f (g(t),h(t)) * g(t)' */              |      /* Standard */
                                               |
     M += m * (*P_f)((*P_g)(t), (*P_h)(t)) *   |       M += m * (*P_f)(x);
                                               |
                      fx_x((*P_g),t,H) ;       |

Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail :

• x_hfile.h ............ Déclaration des fichiers h
• x_def.h .............. Déclaration des utilitaires
• x_fx.h ................ Calculer la dérivé première et seconde
• x_l2d_ds.h ........ L'intégrale curviligne 2d
• x_l2d_dx.h
• x_l2d_dy.h

les fonctions f  :

• f.h

Intégrale curviligne ds :

• c181a.c ................ f(x,y) = "x*y**2"
• c181b.c ................ f(x,y) = "x**3 + y"
• c181c.c ................ f(x,y) = "sqrt(x**2 + y**2)"

Intégrale curviligne dx : Les formes dx, dy seront utilisés pour les intégrales curvilignes dans les champs de vecteurs.

• c182a.c ................ f(x,y) = "x*y**2";
• c182b.c ................ f(x,y) = "x**3 + y"
• c182c.c ................ f(x,y) = "sqrt(x**2 + y**2)"

Intégrale curviligne dy :

• c183a.c ................ f(x,y) = "x*y**2";
• c183b.c ................ f(x,y) = "x**3 + y"
• c183c.c ................ f(x,y) = "sqrt(x**2 + y**2)"