Mathc initiation/a00y

Vérifier quelques propriétés mathématiques de trigonométrie

Vérifions si : cos(x-y) = [cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)]
               sin(x-y) = [sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)] 

 Prenons z1 et z2 deux nombres complexes sur le cercle trigonométrique (r=1).
 
    Forme exponentielle               Forme trigonométrique
    
    z1 = e**(ix)                      = cos( x) + i sin( x)  
    z2 = e**(-iy)                     = cos(-y) + i sin(-y) = cos(y) - i sin(y)  
    
    z1*z2 = e**(ix)*e**(-iy)          = [cos(x) + i sin(x)] [ cos(y) - i sin(y)]   (a)  
                                      
    z1*z2 = e**[i(x-y)]      donc     =  cos(x-y) + i sin(x-y)                     (b)
          
          
 1) Développons (a) :         
                   
          [cos(x) + i sin(x)] [cos(y) - i sin(y)]  =
          
          [cos(x)      cos(y) - i**2 sin(x)sin(y)] +
          [cos(x) (-)i sin(y) + i    sin(x)cos(y)]    =         
          
          [cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)] +
         i[sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)]
           
           
  2) Comparons les parties réelles et imaginaires obtenu en (1) avec celles de z1*z2 (b) :
  
           cos(x-y) = [cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)]
           sin(x-y) = [sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)]