Mathc initiation/a547

Sommaire

Résoudre l'équation :

        Y'  +   Y  =   1          Y(0) = 0
        
  Utilisons la transformée de Laplace :      
      
      L{Y'}     + L{Y} = L{1}                   
      
      sy - Y(0) +   y  = 1/s      Y(0) = 0
      
      sy -   0  +   y  = 1/s
      
             y (s + 1) = 1/s 
          
                     y = 1/s 1/(s + 1)   
          
    Utilisons la méthode des fractions partielles. Voir explication Ici
    
        1     1         A       B
    y = -  -------  =  --- + -------  
        s  (s + 1)      s    (s + 1)
                    
    si s =  0   A =  1                                                                 
    si s = -1   B = -1                                   

    donc
                     
        1     1        1      1
    y = -  -------  =  - - ------- 
        s  (s + 1)     s   (s + 1)                     
                    

    Utilisons la transformée inverse de Laplace : 
                        
                   1            1
     L-1{y} =  L-1{ - } - L-1{ ------ }  
                   s          s-(-1)   
                               
                 -----------------|
                | Y = 1 - exp(-t) |   
                 ------------------                                
                               
   Vérifions :
   
        Y'          +   Y          = 1         
        
       (1-exp(-t))' +  (1-exp(-t)) = 1
          
         +exp(-t)   +   1-exp(-t)  = 1 
         
                    +   1          = 1            
    
               

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