Mathc initiation/a547

Sommaire

Résoudre l'équation : 

        y(t)'  +   y(t)  =   1          y(0) = 0
     
    
  Utilisons la transformée de Laplace :      
      
      L{y(t)'}     + L{y(t)} = L{1}                   
      
      sY(s) - y(0) +   Y(s)  = 1/s      y(0) = 0
      
      sY(s) -   0  +   Y(s)  = 1/s
      
                Y(s) (s + 1) = 1/s 
          
                        Y(s) = 1/s 1/(s + 1)   
          
 
    Utilisons la méthode des fractions partielles. Voir explication Ici
    
           1     1         A       B
    Y(s) = -  -------  =  --- + -------  
           s  (s + 1)      s    (s + 1)
                    
    si s =  0   A =  1                                                                 
    si s = -1   B = -1                                   

    donc
                      
          1     1        1      1
   Y(s) = -  -------  =  - - ------- 
          s  (s + 1)     s   (s + 1)                     
                    

    Utilisons la transformée inverse de Laplace : 

                       1            1
     L-1{Y(s))} =  L-1{ - } - L-1{ ------ }  
                       s           s-(-1)   
                               
                 -------------------- 
                | y(t) = 1 - exp(-t) |   
                 --------------------                               
               
               
   Vérifions :
   
        y(t)'       +   y(t)       = 1         
        
       (1-exp(-t))' +  (1-exp(-t)) = 1
          
         +exp(-t)   +   1-exp(-t)  = 1 
         
                    +   1          = 1