Mathc initiation/a559
La transformée de Laplace Multiplication par t^n
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- x_afile.h ............. Déclaration des fichiers h
- x_def.h .............. Déclaration des utilitaires
- x_lt_dt.h ............ L'intégrale
.
Si L{F(t)} = f(s) alors L{t^n F(t)} = (-1)^n f^n(s)
avec n = 1
F(t) f(s) L{t F(t)} = -1 f'(s)
t 1/s^2 L{t t} = -1 -2/s^3
t^2 2/s^3 L{t t^2} = -1 -6/s^4
t^3 6/s^4 L{t t^3} = -1 -24/s^5
t^4 24/s^5 L{t t^4} = -1 -120/s^6
sin(t) 1/(s^2+1) L{t sin(t)} = -1 -(2 s)/(s^2+1)^2
cos(t) s/(s^2+1) L{t cos(t)} = -1 -(s^2-1)/(s^2+1)^2
sinh(t) 1/(s^2-1) L{t sinh(t)} = -1 -(2 s)/(s^2-1)^2
cosh(t) s/(s^2-1) L{t cosh(t)} = -1 -(s^2+1)/(s^2-1)^2
exp(t) 1/(s-1) L{t exp(t)} = -1 -1/(s-1)^2
Les fonctions :
La transformée de Laplace, Multiplication par t^n Présentation du problème : * Soit F(t) une fonction, et soit f(s) sa transformée de Laplace :
/+oo
|
L{F(t)} = | exp(-s t) F(t) dt = f(s)
|
/0
* La propriété de la Multiplication par t^n de la transformée de la place nous permet d'écrire :
L{t^n F(t)} = (-1)^n f^n(s)
* c00a.c * Nous obtenons donc :
/+oo
|
| exp(-s t) [t^n F(t)] dt = (-1)^n f^n(s)
|
/a
* c00b.c * Conclusion :
Si nous connaissons f(s), la transformée de Laplace d'une fonction F, si nous souhaitons connaitre la transformée de Laplace de la Multiplication par t^n , il suffit d'utiliser l'équation ci-dessus.
.