Mathc matrices/01z

Sommaire

En analyse numérique, une discipline des mathématiques, le conditionnement mesure la dépendance de la solution d'un problème numérique par rapport aux données du problème, Wikipedia: Conditionnement (analyse numérique)

Conditionnement d'une matrice

L'étude du conditionnement d'une matrice nous donne un nombre qui nous permet d'estimer si le résultat attendue peut être considérer comme correcte.

Pour certaines matrices (symétriques) on peut choisir le quotient entre la valeurs propres maximales sur la valeur propre minimales de A.

${\displaystyle \kappa (\mathrm {A} )={\frac {|\lambda _{\max }(\mathrm {A} )|}{|\lambda _{\min }(\mathrm {A} )|}}}$

Plus se quotient sera élevé plus seront élevés les problèmes d'arrondis et le calcul par exemple de l'inverse d'une matrice risque d'être perturbé.

Nous allons voir dans quatre exemples l'effet destructeur d'une matrice mal conditionnée.

• Dans le premier exemple nous aurons ${\displaystyle \kappa (\mathrm {A} )=5E+00}$
• Dans le deuxième exemple nous aurons ${\displaystyle \kappa (\mathrm {A} )=5E+05}$
• Dans le troisième exemple nous aurons ${\displaystyle \kappa (\mathrm {A} )=5E+07}$
• Dans le quatrième exemple nous aurons ${\displaystyle \kappa (\mathrm {A} )=5E+10}$

Nous pourrons observer à partir du deuxième exemple des erreurs de calculs importants

Quatre exemples :

• Valeurs aléatoires
• Valeurs aléatoires
• Valeurs aléatoires
• Valeurs aléatoires