Mathc matrices/05w
Valeurs propres. Vecteurs propres
Théorie : Valeurs propres pour les programmeurs.
En Mathématique :
Soit A une matrice.
Soit T une transformation qui à tous vecteurs v fait correspondre le vecteur Av.
T(v) = Av
Cette transformation peut faire subir aux vecteurs v, des rotations, des translations, des expansions...
Une transformation particulière est celle qui se contente de modifier uniquement la longueur et le sens du vecteur.
T(v) = Av
T(v) = λv
Dans ce cas particulier, on dit que λ est une valeur propre, et v est un vecteur propre de cette transformation.
Nous avons :
T(v) = Av
T(v) = λv
Soit :
Av = λv
0 = λv - Av Transposons Av
0 = λ Id v - Av Introduisons la matrice identité
0 = (λ Id - A) v Factorisons v
0 = B v Introduisons B = (λ Id - A)
0 = B v Si B est Inversible PROBLEME
invB 0 = invB B v Simplifions
0 = id v
0 = v Cela arrête l'algorithme
0 = B v Si B n'est Pas Inversible SOLUTION
det(B) = 0 Le déterminant de B = 0
det(λ Id - A) = 0 Ce qui donne
En Mathématique, cela nous permet d'obtenir le Polynôme caractéristique.
det(λ Id - A) = 0 det(A - λ Id) = 0
| λ-a -b | | a-λ b |
| | = 0 | | = 0
| -c λ-d | | c d-λ |
Le développement du déterminant va nous donner un polynôme qui nous permettra de calculer les valeurs propres de A.
En programmation : Nous allons utiliser un algorithme itératif, qui utile la QR décomposition, pour calculer les valeurs propres de A.