Mathc matrices/a28

E1**2 b1r1 + E2**2 b2r2 + E3**2 b3r3 = A**2

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% A property of spectral decomposition:
%
%  E1**2 * b1r1 + E2**2 * b2r2 + E3**2 * b3r3 = A**2
%  E1**3 * b1r1 + E2**3 * b2r2 + E3**3 * b3r3 = A**3
%        ...
%  E1**n * b1r1 + E2**n * b2r2 + E3**n * b3r3 = A**n
%
% We can calculate the nth power of A by taking
% the nth power of each of the eigenvalues.
%
% V (b) : The columns of the eigenvectors of A
% V'(r) : The rows of the eigenvectors of the inverse of A
%         (Here the transpose: see the first example)
%
%     E : The eignvalues of A.
%
% V1V1' (b1r1) is obtained by multiplying the first column of the eigenvector
%              of A by the first row of the eigenvector of the inverse of A


clear, clc

A = round(10*randn(3));    %% A matrix 3x3
A = A'*A                   %% A symetric matrix

% Eigenvectors, Eigenvalues
[Evectors,Evalues] = eigs(A);

V1 = Evectors(:,1);
V2 = Evectors(:,2);
V3 = Evectors(:,3);

Evalues = diag([Evalues]);

E1 = Evalues(1);
E2 = Evalues(2);
E3 = Evalues(3);

E1_2_b1r1 = E1^2.*V1*V1';
E2_2_b2r2 = E2^2.*V2*V2';
E3_2_b3r3 = E3^2.*V3*V3';

A_2 = E1_2_b1r1 + E2_2_b2r2 + E3_2_b3r3

A_2= A^2

%%

Nous voyons une des propriétés de la décomposition spectral:

E1**2 * b1r1 + E2**2 * b2r2 + E3**2 * b3r3 = A**2
E1**n * b1r1 + E2**n * b2r2 + E3**n * b3r3 = A**n

On peux calculer la nième puissance de A en simplement prenant la puissance nième de chacune des valeurs propres.