Mathc matrices/c24k

Sommaire

Une aide théorique dans le cours de Khan Academy : Leçon 3: Changement de base .

Matrice d'une application linéaire par rapport à la base B

  Soit T(x_s) = A x_s  une application linéaire par rapport à la base canonique. (standard)

  Soit B la matrice de changement de base de la base B :
  
  Nous savons que 
  
    1) x_b = InvB x_s           
    2) x_s =    B x_b 

  Soit 
 
  [T(x_b)]_b = D x_b  l'application linéaire T(x_b)_b par rapport à la base B.
  
  
  Étudions le lien entre la matrice A et la matrice D.
 
  Posons :
  
   T(x)    =  A x_s                                                    0) En base standard
  [T(x)]_b = [A x_s]_b = InvB [A   x_s]                                1) x_b = InvB x_s 
  [T(x)]_b =            (InvB  A)  x_s                     
  [T(x)]_b =            (InvB  A) (B x_b)                              2) x_s =    B x_b 
              

  [T(x)]_b = (InvB A)   (B  x_b) 
  [T(x)]_b = (InvB A     B) x_b   

  [T(x)]_b = (InvB A B)     x_b  
  
  [T(x)]_b =      D         x_b             l'application linéaire [T(x_b)]_b par rapport à la base B.
  
         D =  (InvB A B) 

• *a.c : Calculer les vecteurs x_b et x_s
• *b.c : Calculer T(x) = A x_b
• *c.c : Calculer [T(x)]_b = D x_b
• *d.c : Vérifier si les résultats sont compatibles [ (x_S = B x_B) -> T(x_S) = B T(x_B)_B ]

Exemples d'applications dans R2 :

* c02a.c

* c02b.c

* c02c.c

* c02d.c

Exemples d'applications dans R3 :

* c03a.c

* c03b.c

* c03c.c

* c03d.c

Exemples d'applications dans R4 :

* c04a.c

* c04b.c

* c04c.c

* c04d.c