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Technologie/Éléments théoriques et pratiques/Résistance des matériaux/Formulaire des poutres simples - Efforts de cohésion

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Éléments théoriques et pratiques


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La poutre est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux et désignant un objet dont la longueur est grande par rapport aux dimensions transverses (section fine).

Le présent formulaire sert à la validation de l'état limite ultime (ELU), c'est-à-dire à la vérification que la pièce n'est pas endommagée (la limite ultime n'est pas atteinte en service) :

σmax ≤ Rpe

avec

  • σmax : contrainte normale maximale (MPa) ;
  • Rpe : résistance pratique à l'extension.

On a en général

avec

  • Re : limite élastique (MPa), dont la définition dépend de la forme courbe de traction et du contexte de l'étude : ReH ou ReL pour une courbe avec limite élastique franche, Rp 0,2 % pour une courbe sans limite élastique franche, Rm pour un matériau cassant dans le domaine élastique ;
  • s : coefficient de sécurité, dépendant du contexte.

La contrainte normale maximale se calcule par

  • Mfz max : moment fléchissant maximal (en Nmm) ;
  • wz : module de flexion de la poutre (mm3).

On a

  • IGz : moment quadratique de la section droite (mm4), noté ci-après simplement I ;
  • V : valeur absolue de l'ordonnée la plus éloignée de la fibre neutre (mm),
    • pour une section à symétrie horizontale de hauteur h, V = h/2,
    • pour une section circulaire, V = R (rayon).

L'effet de l'effort tranchant est en général ignoré.

On utilise la convention des efforts à droite de la coupure.

Notation des efforts de liaison

Pour les cas de charge, on ne représente que les efforts de charge. Les efforts à la liaison A sont notés RA pour la force et MA pour le moment.

Problèmes isostatiques

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Poutres bi-appuyées

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La force qu'exerce l'appui de gauche sur la poutre est appelée , celle de l'appui de droite est appelée . Par simplicité, on note et .

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre bi-appuyée soumise à une force concentrée en son centre

charge concentrée au centre (flexion trois points)

Poutre bi-appuyée soumise à une force concentrée

charge concentrée


Poutre bi-appuyée soumise à une charge uniforme

charge uniforme

Poutre bi-appuyée soumise à une charge linéaire croissante q(x ) = q0x/L

charge linéaire croissante q(x ) = q0x/L


Poutre biappuyé soumise à un moment concentré

couple concentré en A

Poutre biappuyé soumise à un moment concentré

couple concentré en x = a

Poutre console

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La poutre est encastrée à gauche et libre à droite (porte-à-faux). Les indices, le sens des effort et le sens des déformation sont omis lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté. La force d'encastrement est appelée La force qu'exerce l'appui de gauche sur la poutre est appelée , on note  ; le moment d'encastrement est noté MA.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre console soumise à une charge concentrée à l'extrémité
charge concentrée à l'extrémité

Poutre console soumise à une charge concentrée excentrée
charge concentrée

Poutre console soumise à une charge uniformément répartie

charge uniforme

Poutre console soumise à une charge croissante q(x ) = q0x/L
charge croissante q(x ) = q0x/L

Poutre console soumise à une charge décroissante q(x ) = q0(1-x/L)
charge décroissante q(x ) = q0(1-x/L)

Poutre console soumise à un couple
couple

Problèmes hyperstatiques de degré 1

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Poutre encastrée-appuyée

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La poutre est encastrée en A et appuyée en B, sans charge en porte-à-faux. La force qu'exerce l'encastrement sur la poutre est appelée , celle de l'appui de droite est appelée . Par simplicité, on note et . Le moment d'encastrement est noté MA.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre encastrée appuyée soumise à une force concentrée en son milieu

charge concentrée au milieu



Poutre encastrée appuyée soumise à une force concentrée en x = a

charge concentrée en x = a



Poutre encastrée appuyée soumise à une charge uniforme

charge uniforme



Poutre encastrée appuyée soumise à une charge linéaire décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)

charge linéaire décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)



Poutre encastrée appuyée soumise à une charge triangulaire symétrique

charge triangulaire symétrique



Poutre encastrée appuyée soumise à un couple en B

couple en B


Poutre encastrée appuyée soumise à un couple en x = a

couple en x = a


Poutre continue à deux travées égales

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La poutre est appuyée sur trois appuis répartis symétriquement. La force l'appui de gauche sur la poutre est appelée , celle de l'appui central est appelée et celle de l'appui de droite est appelée . Par simplicité, on note , et .

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre sur trois appuis soumise à une force concentrée au milieu d'une travée

charge concentrée au milieu d'une travée



Poutre sur trois appuis soumise à une charge uniforme sur une travée

charge uniforme sur une travée



Poutre sur trois appuis soumise à une force concentrée au milieu de chaque travée

charge concentrée au milieu de chaque travée


Poutre sur trois appuis soumise à une charge uniforme sur toute la poutre

charge uniforme sur toute la poutre


Problèmes hyperstatiques de degré 2

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Poutre bi-encastrée

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La poutre est encastrée en A et en B, sans charge en porte-à-faux. La force qu'exerce l'encastrement sur la poutre est appelée , celle de l'appui de droite est appelée . Par simplicité, on note et . Les moments d'encastrement sont notés MA et MB.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre bi-encastrée soumise à une force concentrée au centre

charge concentrée au centre


Poutre bi-encastrée soumise à une force excentrée (p. ex. charge roulante)

charge excentrée (p. ex. charge roulante)




Poutre bi-encastrée soumise à une charge uniforme

charge uniforme



Wikimedia Commons propose des documents multimédia sur les poutres.