Technologie/Éléments théoriques et pratiques/Résistance des matériaux/Formulaire des poutres simples - Efforts de cohésion

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Éléments théoriques et pratiques

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Éléments théoriques et pratiques


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Technologie Modèles

La poutre est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux et désignant un objet dont la longueur est grande par rapport aux dimensions transverses (section fine).

Le présent formulaire sert à la validation de l'état limite ultime (ELU), c'est-à-dire à la vérification que la pièce n'est pas endommagée (la limite ultime n'est pas atteinte en service) :

σmax ≤ Rpe

avec

  • σmax : contrainte normale maximale (MPa) ;
  • Rpe : résistance pratique à l'extension.

On a en général

\mathrm{R_{pe}} = \frac{\mathrm{R_e}}{s}

avec

  • Re : limite élastique (MPa), dont la définition dépend de la forme courbe de traction et du contexte de l'étude : ReH ou ReL pour une courbe avec limite élastique franche, Rp 0,2 % pour une courbe sans limite élastique franche, Rm pour un matériau cassant dans le domaine élastique ;
  • s : coefficient de sécurité, dépendant du contexte.

La contrainte normale maximale se calcule par

\sigma_{\mathrm{max}} = \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z\ \mathrm{max}}}{w_z}

  • Mfz max : moment fléchissant maximal (en Nmm) ;
  • wz : module de flexion de la poutre (mm3).

On a

w_z = \frac{\mathrm{I}_{\mathrm{G}z}}{\mathrm{V}}

  • IGz : moment quadratique de la section droite (mm4), noté ci-après simplement I ;
  • V : valeur absolue de l'ordonnée la plus éloignée de la fibre neutre (mm),
    • pour une section à symétrie horizontale de hauteur h, V = h/2,
    • pour une section circulaire, V = R (rayon).

L'effet de l'effort tranchant est en général ignoré.

On utilise la convention des efforts à droite de la coupure.

Notation des efforts de liaison

Pour les cas de charge, on ne représente que les efforts de charge. Les efforts à la liaison A sont notés RA pour la force et MA pour le moment.

Problèmes isostatiques[modifier | modifier le wikicode]

Poutres bi-appuyées[modifier | modifier le wikicode]

La force qu'exerce l'appui de gauche sur la poutre est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}, celle de l'appui de droite est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}. Par simplicité, on note \mathrm{R_A} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}} \| et \mathrm{R_B} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}} \|.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre bi-appuyée soumise à une force concentrée en son centre

charge concentrée au centre (flexion trois points)

 \mathrm{R_A} = \mathrm{R_B} = \frac{\mathrm{F}}{2} Poutre appuis trois points t.svg Poutre appuis trois points mf.svg
Poutre bi-appuyée soumise à une force concentrée

charge concentrée

\mathrm{R_A} = \frac{\mathrm{F}b}{\mathrm{L}}

\mathrm{R_B} = \frac{\mathrm{F}a}{\mathrm{L}}

Poutre appuis charge roulante t.svg Poutre appuis charge roulante mf.svg
Poutre bi-appuyée soumise à une charge uniforme

charge uniforme

\mathrm{R_A} = \mathrm{R_B} = \frac{q\mathrm{L}}{2} Poutre appuis charge uniforme t.svg Poutre appuis charge uniforme mf.svg
Poutre bi-appuyée soumise à une charge linéaire croissante q(x ) = q0x/L

charge linéaire croissante q(x ) = q0x/L

\mathrm{R_A} = \frac{q_0 \mathrm{L}}{6}

\mathrm{R_B} = \frac{q_0 \mathrm{L}}{3}

Poutre appuis charge lineaire t.svg Poutre appuis charge lineaire mf.svg
Poutre biappuyé soumise à un moment concentré

couple concentré en A

 \mathrm{R_A} = -\mathrm{R_B} = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{L}} Poutre appuis couple gauche t.svg Poutre appuis couple gauche mf.svg
Poutre biappuyé soumise à un moment concentré

couple concentré en x = a

 \mathrm{R_A} = -\mathrm{R_B} = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{L}} Poutre appuis couple t.svg Poutre appuis couple mf.svg

Poutre console[modifier | modifier le wikicode]

La poutre est encastrée à gauche et libre à droite (porte-à-faux). Les indices, le sens des effort et le sens des déformation sont omis lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté. La force d'encastrement est appelée La force qu'exerce l'appui de gauche sur la poutre est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}, on note \mathrm{R_A} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}} \| ; le moment d'encastrement est noté MA.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre console soumise à une charge concentrée à l'extrémité
charge concentrée à l'extrémité
\mathrm{R_A} = \mathrm{F}

\mathrm{M_A} = \mathrm{F}\mathrm{L}

Poutre appuis console charge ponctuelle t.svg Poutre appuis console charge ponctuelle mf.svg
Poutre console soumise à une charge concentrée excentrée
charge concentrée
\mathrm{R_A} = \mathrm{F}

\mathrm{M_A} = \mathrm{F}a

Poutre appuis console charge roulante t.svg Poutre appuis console charge roulante mf.svg
Poutre console soumise à une charge uniformément répartie

charge uniforme

 \mathrm{R_A} = q \mathrm{L}

 \mathrm{M_A} = \frac{q \mathrm{L}^2}{2}

Poutre appuis console charge uniforme t.svg Poutre appuis console charge uniforme mf.svg
Poutre console soumise à une charge croissante q(x ) = q0x/L
charge croissante q(x ) = q0x/L
\mathrm{R_A} = \frac{q_0\mathrm{L}}{2}

\mathrm{M_A} = \frac{q_0\mathrm{L}^2}{3}

Poutre appuis console charge croissante t.svg Poutre appuis console charge croissante mf.svg
Poutre console soumise à une charge décroissante q(x ) = q0(1-x/L)
charge décroissante q(x ) = q0-1-x/L)
\mathrm{R_A} = \frac{q_0\mathrm{L}}{2}

\mathrm{M_A} = \frac{q_0\mathrm{L}^2}{6}

Poutre appuis console charge decroissante t.svg Poutre appuis console charge decroissante mf.svg
Poutre console soumise à un couple
couple
\mathrm{R_A} = 0

\mathrm{M_A} = - \mathrm{C}

Poutre appuis console couple t.svg Poutre appuis console couple mf.svg

Problèmes hyperstatiques de degré 1[modifier | modifier le wikicode]

Poutre encastrée-appuyée[modifier | modifier le wikicode]

La poutre est encastrée en A et appuyée en B, sans charge en porte-à-faux. La force qu'exerce l'encastrement sur la poutre est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}, celle de l'appui de droite est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}. Par simplicité, on note \mathrm{R_A} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}} \| et \mathrm{R_B} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}} \|. Le moment d'encastrement est noté MA.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre encastrée appuyée soumise à une force concentrée en son milieu

charge concentrée au milieu

\mathrm{R_A} = \frac{11\mathrm{F}}{16}

\mathrm{M_A} = \frac{3\mathrm{F}\mathrm{L}}{16}
\mathrm{R_B} = \frac{5\mathrm{F}}{16}

Poutre appuis console appuyee charge ponctuelle t.svg Poutre appuis console appuyee charge ponctuelle mf.svg
Poutre encastrée appuyée soumise à une force concentrée en x = a

charge concentrée en x = a

\mathrm{R_A} = \frac{\mathrm{F}b(3\mathrm{L}^2 - b^2)}{2 \mathrm{L}^3}

\mathrm{M_A} = \frac{\mathrm{F}a(\mathrm{L}^2 - a^2)}{2 \mathrm{L}^2}
\mathrm{R_B} = \frac{\mathrm{F}a^2(2 \mathrm{L} + b)}{2 \mathrm{L}^3}

Poutre appuis console appuyee charge roulante t.svg Poutre appuis console appuyee charge roulante mf.svg
Poutre encastrée appuyée soumise à une charge uniforme

charge uniforme

\mathrm{R_A} = \frac{5q\mathrm{L}}{8}

\mathrm{M_A} = \frac{q\mathrm{L}^2}{8}
\mathrm{R_B} = \frac{3q\mathrm{L}}{8}

Poutre appuis console appuyee charge uniforme t.svg Poutre appuis console appuyee charge uniforme mf.svg
Poutre encastrée appuyée soumise à une charge linéaire décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)

charge linéaire décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)

\mathrm{R_A} = \frac{2q_0\mathrm{L}}{5}

\mathrm{M_A} = \frac{q_0\mathrm{L}^2}{15}
\mathrm{R_B} = \frac{q_0\mathrm{L}}{10}

Poutre appuis console appuyee charge decroissante t.svg Poutre appuis console appuyee charge decroissante mf.svg
Poutre encastrée appuyée soumise à une charge triangulaire symétrique

charge triangulaire symétrique

\mathrm{R_A} = \frac{21q_0\mathrm{L}}{64}

\mathrm{M_A} = \frac{5q_0\mathrm{L}^2}{64}
\mathrm{R_B} = \frac{11q_0\mathrm{L}}{64}

Poutre appuis console appuyee charge triangle t.svg Poutre appuis console appuyee charge triangle mf.svg
Poutre encastrée appuyée soumise à un couple en B

couple en B

\mathrm{R_A} = -\mathrm{R_B} = \frac{3\mathrm{C}}{2\mathrm{L}}

\mathrm{M_A} = \frac{\mathrm{C}}{2}

Poutre appuis console appuyee couple droite t.svg Poutre appuis console appuyee couple droite mf.svg
Poutre encastrée appuyée soumise à un couple en x = a

couple en x = a

\mathrm{R_A} = -\mathrm{R_B} = \frac{3\mathrm{C}(\mathrm{L}^2 - b^2)}{2\mathrm{L}^3}

\mathrm{M_A} = \frac{\mathrm{C}(\mathrm{L}^2 - 3 b^2)}{2\mathrm{L}^2}

Poutre appuis console appuyee couple t.svg Poutre appuis console appuyee couple mf.svg

Poutre continue à deux travées égales[modifier | modifier le wikicode]

La poutre est appuyée sur trois appuis répartis symétriquement. La force l'appui de gauche sur la poutre est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}, celle de l'appui central est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}} et celle de l'appui de droite est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{C}}. Par simplicité, on note \mathrm{R_A} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}} \|, \mathrm{R_B} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}} \| et \mathrm{R_C} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{C}} \|.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre sur trois appuis soumise à une force concentrée au milieu d'une travée

charge concentrée au milieu d'une travée

\mathrm{R_A} = \frac{13\mathrm{F}}{32}

\mathrm{R_B} = \frac{11\mathrm{F}}{16}
\mathrm{R_C} = \frac{-3\mathrm{F}}{32}

Poutre appuis trois appuis charge ponctuelle t.svg Poutre appuis trois appuis charge ponctuelle mf.svg
Poutre sur trois appuis soumise à une charge uniforme sur une travée

charge uniforme sur une travée

\mathrm{R_A} = \frac{7q\mathrm{L}}{16}

\mathrm{R_B} = \frac{15q\mathrm{L}}{24}
\mathrm{R_C} = \frac{-3q\mathrm{L}}{48}

Poutre appuis trois appuis charge uniforme une travee t.svg Poutre appuis trois appuis charge uniforme une travee mf.svg
Poutre sur trois appuis soumise à une force concentrée au milieu de chaque travée

charge concentrée au milieu de chaque travée

\mathrm{R_A} = \mathrm{R_C} = \frac{5\mathrm{F}}{16}

\mathrm{R_B} = \frac{11\mathrm{F}}{8}

Poutre appuis trois appuis deux charges ponctuelles t.svg Poutre appuis trois appuis deux charges ponctuelles mf.svg
Poutre sur trois appuis soumise à une charge uniforme sur toute la poutre

charge uniforme sur toute la poutre

\mathrm{R_A} = \mathrm{R_C} = \frac{3q\mathrm{L}}{8}

\mathrm{R_B} = \frac{5q\mathrm{L}}{4}

Poutre appuis trois appuis charge uniforme deux travees t.svg Poutre appuis trois appuis charge uniforme deux travees mf.svg

Problèmes hyperstatiques de degré 3[modifier | modifier le wikicode]

Poutre bi-encastrée[modifier | modifier le wikicode]

La poutre est encastrée en A et en B, sans charge en porte-à-faux. La force qu'exerce l'encastrement sur la poutre est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}}, celle de l'appui de droite est appelée \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}}. Par simplicité, on note \mathrm{R_A} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{A}} \| et \mathrm{R_B} = \| \vec{\mathrm{R}}_{\mathrm{B}} \|. Les moments d'encastrement sont notés MA et MB.

Sollicitation Actions aux liaisons Effort tranchant Moment fléchissant
Poutre bi-encastrée soumise à une force concentrée au centre

charge concentrée au centre

\mathrm{R_A} = \mathrm{R_B} = \frac{\mathrm{F}}{2}

\mathrm{M_A} = -\mathrm{M_B} = \frac{\mathrm{F}\mathrm{L}}{8}

Poutre appuis biencastree charge ponctuelle t.svg Poutre appuis biencastree charge ponctuelle mf.svg
Poutre bi-encastrée soumise à une force excentrée (p. ex. charge roulante)

charge excentrée (p. ex. charge roulante)

\mathrm{R_A} = \frac{\mathrm{F} b^2 (3a + b)}{\mathrm{L}^3}

\mathrm{M_A} = \frac{\mathrm{F} a b^2}{\mathrm{L}^2}
\mathrm{R_B} = \frac{\mathrm{F} a^2 (a + 3b)}{\mathrm{L}^3}
\mathrm{M_B} = -\frac{\mathrm{F} a^2 b}{\mathrm{L}^2}

Poutre appuis biencastree charge roulante t.svg Poutre appuis biencastree charge roulante mf.svg
Poutre bi-encastrée soumise à une charge uniforme

charge uniforme

\mathrm{R_A} = \mathrm{R_B} = \frac{q\mathrm{L}}{2}

\mathrm{M_A} = -\mathrm{M_B} = \frac{q\mathrm{L}^2}{12}

Poutre appuis biencastree charge uniforme t.svg Poutre appuis biencastree charge uniforme mf.svg

\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}(x) = \frac{q}{2}(-x^2 + \mathrm{L}x -\mathrm{L}^2/6 )

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

Commons-logo.svg

Wikimedia Commons propose des documents multimédia sur les poutres.