Cosmologie/Le spectre de puissance des perturbations

Dans les chapitres précédents, nous sommes parti du principe que la distribution de la densité $\delta (x,t)$ nous était inconnue. Nous supposions simplement qu'elle existe, mais en savoir plus sur ses propriétés. Et il est vrai que dans le cas général, on ne peut rien dire sur la distribution des perturbations. Par contre, on peut en donner quelques propriétés statistiques plus ou moins pertinentes. Ce champ de densité, peu importe sa forme exacte, a une densité moyenne, une certaine dispersion autour de cette moyenne, et ainsi de suite. Dans ce chapitre, nous allons voir diverses mesures statistiques du champ de densité et voir comment elles se marient avec les équations du chapitre précédent.

La fonction de corrélation

Pour commencer, prenons un exemple assez simple, mais en apparence détaché des perturbations cosmologiques. Si je regarde un point $x$ de l'espace et un volume $dV$ autour de ce point (supposé assez gros à l'échelle cosmologique). Il y a une probabilité $P(x)$ que dans le volume $dV$, je trouve une galaxie. Si on suppose qu'il y a en moyenne ${\overline {n}}$ galaxies par unité de volume, alors cette probabilité est de :

$P(x)={\overline {n}}\cdot dV$

De même, en un point $y$, cette probabilité est de :

$P(y)={\overline {n}}\cdot dV$

Maintenant, on souhaite savoir quelle est la probabilité que j'observe une galaxie à la fois au point $x$ et au point $y$. Intuitivement, on penserait avoir :

$P(x,y)=\left({\overline {n}}\cdot dV\right)^{2}$

Mais cela ne vaut que si les positions des galaxies sont totalement indépendantes, ce qui n'est pas garanti. Dans les faits, il est possible qu'il y aie une relation dans la distribution des galaxies qui fait que si on observe une galaxie en x, alors sa présence en y est plus probable, en fonction des positions x et y. On doit donc tenir compte de telles corrélations. La formule exacte, qui en tient compte, est la suivante :

$P(x,y)=\left({\overline {n}}\cdot dV\right)^{2}\left[1+\epsilon (x,y)\right]$, où $\epsilon (x,y)$ est la fonction de corrélation.

Par analogie, on peut utiliser le même formalisme, mais pour prédire non pas la présence d’une galaxie, mais l'intensité d'une fluctuation de densité. On a alors :

$<\rho (x)\rho (y)>={\overline {\rho }}^{2}\left[1+\epsilon (x,y)\right]$, où ${\overline {\rho }}$ est la densité moyenne du champ de densité.

Il est possible de définir des fonctions de corrélation pour trois points, quatre points, voire beaucoup plus.

L'hypothèse d’homogénéité statistique

Si on considère que l'univers est statistiquement homogène, alors la fonction de corrélation ne dépend que de la distance entre x et y, mais pas de la position exacte de x et y.

$<\rho (x)\rho (y)>={\overline {\rho }}^{2}\left[1+\epsilon (|x-y|)\right]$

Ce qui peut d'écrire comme suit :

$<\rho (x)\rho (y)>={\overline {\rho }}^{2}\left[1+\epsilon (d)\right]$, avec r la distance entre les deux points x et y.

Sous cette hypothèse, le calcul de la densité moyenne est assez simple. Il suffit de prendre la moyenne spatiale de la densité. La corrélation moyenne entre deux points peut se calculer en prenant un grand ombre de points et y et en calculant la corrélation pour chaque paire de points. Il suffit de faire la moyenne des corrélations obtenues, pour obtenir la corrélation moyenne. les mesures semblent montrer que la fonction de corrélation suit une loi de puissance de la forme suivante :

$\epsilon (d)\approx k\cdot d^{-\gamma }$, avec $\gamma \approx 1,8$.