Technologie/Éléments théoriques et pratiques/Résistance des matériaux/Formulaire des poutres simples - Déformée

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Éléments théoriques et pratiques

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Éléments théoriques et pratiques


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Le présent formulaire sert à la vérification de l'état limite en service (ELS). La poutre ayant déjà été vérifiée à l'ELU (voir Formulaire des poutres simples - Efforts de cohésion), on sait qu'elle ne risque pas de rompre. Mais elle se déforme élastiquement sous l'effet du chargement ; il faut donc vérifier que la flèche que prend la poutre reste compatible avec son usage. En particulier, s'il existe un jeu fonctionnel, il faut s'assurer que la flèche est inférieure au jeu.

La flèche est également un élément esthétique, de compatibilité avec les éléments posés dessus (par exemple un plancher), et permet d'avoir des renseignements sur le comportement dynamique (vibrations). En génie civil, on admet typiquement une flèche égale :

  • à L/150 (soit 1/150 de la portée L) pour les parties d'ouvrage en console n'ayant pas à supporter couramment une circulation (auvents, débords de toiture), pour les tubes d'une structure supportant un poste électrique HTB (RTE[1]) ;
  • à L/200 pour les pièces supportant directement des éléments de couverture (chevrons, liteaux), la charpente d'une structure supportant un poste électrique HTB (RTE)
  • à L/250 pour une poutre, dalle ou console soumise à des charges quasi-permanentes (clause 7.4.1.4 de l'Eurocode 2. Béton armé) ;
  • à L/300 pour une solive supportant un plancher, les pannes, les pièces supportant directement des matériaux verriers, les consoles supportant une circulation (montage ou entretien), les poteaux avec ponts roulants, les poteaux avec remplissage en maçonnerie prenant appui sur le poteau, les poteaux destinés à recevoir un vitrage sur plus de la moitié de leur hauteur, les éléments fléchis reposant sur deux ou plusieurs appuis, et ne supportant pas d'éléments de remplissage ;
  • à L/400 pour les ouvrages fléchis autres que les consoles, et supportant une circulation (montage ou entretien) ou un remplissage ;
  • à L/500 pour un linteau de mensuiserie ;
  • L/600 pour un pont forestier neuf acier-bois (Ministère des ressources naturelles, Québec) ;

La fibre neutre prend une forme appelée « déformée », qui s'exprime par une fonction déplacement y = u(x ) ; par la suite, on la note simplement y(x ). La flèche est l'extremum de cette fonction :

| f | = \max(| \max(y) |, | \min(y) |).

La pente est la dérivée de la déformée (coefficient directeur de la tangente) ; comme elle est faible (on suppose des petites déformations), cela correspond approximativement à l'angle θ en radians que fait la tangente avec l'horizontale :

\theta \simeq \tan(\theta) = y'.

La courbure, définie comme l'inverse du rayon de courbure, est la dérivée seconde de la déformée :

\frac{1}{\rho} = y''

et est donnée par

  • la valeur du moment fléchissant Mf ;
  • la rigidité de la poutre, qui dépend
    • de la rigidité propre au matériau, donnée par le module de Young E (MPa),
    • la rigidité due à la forme de la section, donnée par le moment quadratique IGz, noté par la suite I.

On obtient l'équation différentielle

\mathrm{E}\mathrm{I} y'' = \mathrm{M}_{\mathrm{f}z}.

La résolution de cette équation donne y.

Dans le cas de sollicitations composées, on ne peut pas ajouter les flèches ; il faut ajouter les équations des déformées, puis rechercher les extrema de cette nouvelle fonction.

Problèmes isostatiques[modifier | modifier le wikicode]

Poutres bi-appuyées[modifier | modifier le wikicode]

Sollicitation Flèche Pente
Équation de la déformée
Poutre bi-appuyée soumise à une force concentrée en son centre

force concentrée en son centre

 f = \frac{\mathrm{F} \mathrm{L}^3}{48 \mathrm{E} \mathrm{I}}

x_\mathrm{f} = \frac{\mathrm{L}}{2}

 -\theta_{\mathrm{A}} = \theta_{\mathrm{B}} = \frac{\mathrm{F} \mathrm{L}^2}{16 \mathrm{E}\mathrm{I}}
x \leqslant \frac{\mathrm{L}}{2}\text{ : }y = \frac {-\mathrm{F}x}{48\mathrm{E}\mathrm{I}} (3\mathrm{L}^2 - 4x^2 )
Poutre bi-appuyée soumise à une force concentrée

force concentrée

 f = -\frac{\mathrm{F}b(\mathrm{L}^2 - b^2)^{3/2}}{9 \sqrt{3}\mathrm{E} \mathrm{I} \mathrm{L}}

 x_\mathrm{f} = \sqrt{\frac{\mathrm{L}^2 - b^2}{3}}

 \theta_{\mathrm{A}} = \frac{\mathrm{F} a b (\mathrm{L}+b)}{\mathrm{E} \mathrm{I} \mathrm{L}}

 \theta_{\mathrm{B}} = \frac{\mathrm{F} a b (\mathrm{L}+a)}{\mathrm{E} \mathrm{I} \mathrm{L}}

x \leqslant a\text{ : } y = \frac {\mathrm{F}bx}{6\mathrm{E}\mathrm{I}\mathrm{L}} (x^2 + b^2 - \mathrm{L}^2)

x \geqslant a\text{ : } y = \frac {\mathrm{F}a}{6\mathrm{E}\mathrm{I}\mathrm{L}} (x^3 -3\mathrm{L}^2x^2 + (a^2 + 2\mathrm{L}^2)x - a^2\mathrm{L})

charge uniforme

charge uniforme

 f = -\frac{5q\mathrm{L}^4}{384\mathrm{E}\mathrm{I}}

 x_\mathrm{f} = \frac{\mathrm{L}}{2}

 \theta_{\mathrm{A}} = \theta_{\mathrm{B}} = \frac{q\mathrm{L}^3}{24\mathrm{E}\mathrm{I}}
x \leqslant \frac{\mathrm{L}}{2}\text{ : } y = -\frac {qx}{24\mathrm{E}\mathrm{I}} (x^3 - 2\mathrm{L}x^2 + \mathrm{L}^3)
charge linéaire croissante

charge linéaire croissante

 f \simeq -\frac{0,006\,52 q_0 \mathrm{L}^4}{384\mathrm{E}\mathrm{I}}

 x_\mathrm{f} \simeq 0,519\,3 \mathrm{L}

 \theta_{\mathrm{A}} = \frac{7q_0\mathrm{L}^3}{360\mathrm{E}\mathrm{I}}

 \theta_{\mathrm{B}} = \frac{q_0\mathrm{L}^3}{45\mathrm{E}\mathrm{I}}

y = \frac {q_0 x}{360\mathrm{E}\mathrm{I}} (-3x^4 + 10\mathrm{L}^2x^2 - 7\mathrm{L}^4)
Poutre biappuyé soumise à un couple concentré

couple concentré en A

 f = \frac{\mathrm{C} \mathrm{L}^2}{16\mathrm{E} \mathrm{I}}

 x_\mathrm{f} = \left ( 1 - \sqrt{\frac{1}{3}} \right ) \mathrm{L} \simeq 0,423 \mathrm{L}

 \theta_{\mathrm{A}} = \frac{\mathrm{C} \mathrm{L}}{3 \mathrm{E}\mathrm{I}}

 \theta_{\mathrm{B}} = -\frac{\mathrm{C} \mathrm{L}}{6 \mathrm{E}\mathrm{I}}

y = \frac {\mathrm{C}x} {6\mathrm{E}\mathrm{I}\mathrm{L}} (x^2 - 3Lx + 2\mathrm{L}^2 )
Poutre biappuyé soumise à un couple concentré

couple concentré en x = a

 f =

 x_\mathrm{f} =

 \theta_{\mathrm{A}} =

 \theta_{\mathrm{B}} =

y =

Poutre console[modifier | modifier le wikicode]

La poutre est encastrée à gauche (A) et libre à droite. On a toujours θA = 0 et xf = L.

Sollicitation Flèche Pente
Équation de la déformée
Poutre console soumise à une force concentrée à son extrémité
charge concentrée à l'extrémité
 f = -\frac{\mathrm{F} \mathrm{L}^3}{3 \mathrm{E} \mathrm{I}}  \theta_{\mathrm{B}} =  \frac{\mathrm{F} \mathrm{L}^2}{2 \mathrm{E}\mathrm{I}}
 y = \frac{\mathrm{F}}{6\mathrm{E}\mathrm{I}} (x^3 - 3\mathrm{L}x^2 )
Poutre console soumise à une force concentrée excentrée
charge concentrée
 f = \frac{\mathrm{F} a^2}{6 \mathrm{E} \mathrm{I}}(a - 3\mathrm{L}) \theta_{\mathrm{B}} = \theta_{\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{F} a^2}{2 \mathrm{E}\mathrm{I}}
x \leqslant a\text{ : } y = \frac{\mathrm{F}}{6\mathrm{E}\mathrm{I}} (x^3 - 3ax^2 )

x \geqslant a\text{ : } y = \frac{\mathrm{F}}{6\mathrm{E}\mathrm{I}} (- 3a^2 x + a^3 )

Poutre console soumise à une charge uniformément répartie
charge uniforme
 f = -\frac{q \mathrm{L}^4}{8 \mathrm{E} \mathrm{I}}  \theta_{\mathrm{B}} = \frac{q \mathrm{L}^3}{6 \mathrm{E}\mathrm{I}}
 y = \frac{-qx^2}{24\mathrm{E}\mathrm{I}} (x^2 - 4\mathrm{L}x + 6\mathrm{L}^2)
Poutre console soumise à une charge croissante q(x ) = q0x/L
charge croissante q(x ) = q0x/L
 f = -\frac{11 q_0 \mathrm{L}^4}{120 \mathrm{E} \mathrm{I}}  \theta_{\mathrm{B}} = \frac{q_0 \mathrm{L}^3}{8 \mathrm{E}\mathrm{I}}
 y = \frac{-q_0 x^2}{120\mathrm{E}\mathrm{I}\mathrm{L}} (x^3 - 10\mathrm{L}^2 x + 20\mathrm{L}^3)
Poutre console soumise à une charge décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)
charge décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)
 f = -\frac{q_0 \mathrm{L}^4}{30 \mathrm{E} \mathrm{I}}  \theta_{\mathrm{B}} = \frac{q_0 \mathrm{L}^3}{24 \mathrm{E}\mathrm{I}}
 y = \frac{q_0 x^2}{120\mathrm{E}\mathrm{I}\mathrm{L}} (x^3 - 5 \mathrm{L}x^2 + 10\mathrm{L}^2 x - 10\mathrm{L}^3)
Poutre console soumise à un couple
couple
 f = \frac{\mathrm{C}a}{\mathrm{E} \mathrm{I}}(\mathrm{L} - \frac{a}{2})  \theta_{\mathrm{B}} = \theta_{\mathrm{D}} = \frac{\mathrm{C}a}{\mathrm{E}\mathrm{I}}
x \leqslant a \text{ : } y = \frac{\mathrm{C} x^2}{2\mathrm{E}\mathrm{I}}

x \geqslant a \text{ : } y = \frac{\mathrm{C} a}{\mathrm{E}\mathrm{I}} (x - \frac{a}{2})

Problèmes hyperstatiques de degré 1[modifier | modifier le wikicode]

Poutre encastrée-appuyée[modifier | modifier le wikicode]

La poutre est encastrée à gauche (A) et appuyée à droite (B). On a toujours θA = 0.

Sollicitation Flèche Pente
Équation de la déformée
Poutre encastrée appuyée soumise à une force concentrée en son milieu

charge concentrée au milieu

 y \left( \frac{\mathrm{L}}{2} \right) = -\frac{7 \mathrm{F} \mathrm{L}^3}{768 \mathrm{E} \mathrm{I}}

x_\mathrm{f} \simeq 0,552\,5 \mathrm{L}

 \theta_{\mathrm{B}} = \frac{\mathrm{F} \mathrm{L}^2}{32 \mathrm{E}\mathrm{I}}
Poutre encastrée appuyée soumise à une force concentrée en x = a

charge concentrée en x = a

y(a) = -\frac{\mathrm{F}b(3\mathrm{L}^2 - 5b^2)}{96\mathrm{E}\mathrm{I}}

a < 0,585\,9 \mathrm{L}\text{ : } x_\mathrm{f} > a
a > 0,585\,9 \mathrm{L}\text{ : } x_\mathrm{f} < a

\theta_\mathrm{B} = \frac{\mathrm{F}a^2b}{4 \mathrm{E}\mathrm{I}\mathrm{L}}
Poutre encastrée appuyée soumise à une charge uniforme

charge uniforme

f \simeq \frac{0,005\,42 q \mathrm{L}^4}{\mathrm{E}\mathrm{I}}

x_\mathrm{f} \simeq 0,578 \mathrm{L}

\theta_\mathrm{B} = \frac{5 q \mathrm{L}^3}{348 \mathrm{E}\mathrm{I}}
Poutre encastrée appuyée soumise à une charge linéaire décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)

charge linéaire décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)

f \simeq -0,002\,39 \frac{q_0 \mathrm{L}^4}{\mathrm{E}\mathrm{I}}

x_\mathrm{f} \simeq 0,553 \mathrm{L}

\theta_\mathrm{B} = \frac{q_0 \mathrm{L}^3}{120\mathrm{E}\mathrm{I}}
Poutre encastrée appuyée soumise à une charge triangulaire symétrique

charge triangulaire symétrique

f \simeq \frac{0,003\,57 q_0 \mathrm{L}^4}{\mathrm{E}\mathrm{I}}

x_\mathrm{f} \simeq 0,57 \mathrm{L}

\theta_\mathrm{B} = \frac{5 q_0 \mathrm{L}^3}{384 \mathrm{E}\mathrm{I}}
Poutre encastrée appuyée soumise à un couple en B

couple en B

f = -\frac{\mathrm{C}\mathrm{L}^2}{27\mathrm{E}\mathrm{I}}

x_{\mathrm{f}} = \frac{2}{3}\mathrm{L}

\theta_\mathrm{B} = \frac{\mathrm{C}\mathrm{L}}{4\mathrm{E}\mathrm{I}}
Poutre encastrée appuyée soumise à un couple en x = a

couple en x = a

Poutre continue à deux travées égales[modifier | modifier le wikicode]

Sollicitation Flèche Pente
Équation de la déformée
Poutre sur trois appuis soumise à une force concentrée au milieu d'une travée

charge concentrée au milieu d'une travée

[[Image: poutre
charge

Problèmes hyperstatiques de degré 3[modifier | modifier le wikicode]

Poutre bi-encastrée[modifier | modifier le wikicode]

La poutre est encastrée en A et en B, on a toujours θA = θB = 0.

Sollicitation Flèche
Équation de la déformée
Poutre bi-encastrée soumise à une force concentrée au centre

charge concentrée au centre

f = -\frac{\mathrm{F}\mathrm{L}^3}{192 \mathrm{E} \mathrm{I}}

x_f = \frac{\mathrm{L}}{2}

Poutre bi-encastrée soumise à une force excentrée (p. ex. charge roulante)

charge excentrée (p. ex. charge roulante)

y(a) = -\frac{\mathrm{F} a^3 b^3}{3 \mathrm{E} \mathrm{I} \mathrm{L}^3}
Poutre bi-encastrée soumise à une charge uniforme

charge uniforme

f = -\frac{q \mathrm{L}^4}{384 \mathrm{E} \mathrm{I}}

x_f = \frac{\mathrm{L}}{2}

y = -\frac{q x^2}{24 \mathrm{E} \mathrm{I}} ( x - \mathrm{L} )^2

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. norme RTE EDF Transport — Réseau de transport de l'électricité

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]