Temps de traversée tunnel/Temps complexes

présentation

La méthode de l'intégrale de chemins et celle des corrélations courant-courant introduisent des quantités complexes qui sont reliées avec une ou plusieurs définitions des durées de traversée évaluées dans le domaine classique. Il s'avère que ces différentes durées peuvent être obtenues en considérant les dérivées des coefficients de transmission et réflexion par rapport aux deux paramètres qui les font varier, à savoir l'énergie du mode ou le potentiel. Par exemple l'écriture générale de la partie transmise d'un mode d'énergie $E$ en présence d'une barrière de potentielle $V$ peut s'exprimer globalement sous la forme :

$\psi _{T}(x,t)={\mathcal {T}}(E,V)\;\exp(i[kx-Et/\hbar ])\;.$

Par ailleurs, il est pratique d'introduire les coefficients de transmission et réflexion dans une écriture en module et phase :

${\mathcal {T}}_{ab}\,=\,|{\mathcal {T}}_{ab}|\,\exp(i\alpha )=e^{Ln\vert {\mathcal {T}}\vert }\;e^{i\alpha }\qquad ;\qquad {\mathcal {R}}_{ab}\,=\,|{\mathcal {R}}_{ab}|\,\exp(i\beta )=e^{Ln\vert {\mathcal {R}}\vert }\;e^{i\beta }\;.$

dérivée par rapport à l'énergie

Pour le cas du paquet d'ondes, c'est le comportement des différents modes au voisinage de celui qui possède la plus grande amplitude (qui déterminera le sommet du paquet dans l'espace des positions) qui intervient. Aussi on est amené à considérer les états d'énergie $E=E_{0}+\delta E$. À la première approximation il vient :

$\psi _{T}(x,t)=[{\mathcal {T}}(E_{0},V)+{\frac {\partial {\mathcal {T}}}{\partial E}}\,\delta E]\;\exp(i[kx-Et/\hbar ])\;,$

où l'on peut écrire

${\frac {\partial {\mathcal {T}}}{\partial E}}={\mathcal {T}}\;[{\frac {\partial }{\partial E}}Ln\vert {\mathcal {T}}\vert +i{\frac {\partial \alpha }{\partial E}}]\;.$

Dans l'équation l'on introduit les notations suivantes, définissant des durées associées à la partie transmise et réfléchies, se déclinant avec l'indice $ph$ pour indiquer ce qui va porter sur la phase et $sh$ pour ce qui mènera, finalement, à une déformation du paquet (shape) :

$\tau _{{\mathcal {T}},sp}=-\hbar {\frac {\partial }{\partial E}}Ln\vert {\mathcal {T}}\vert \quad ;\quad \tau _{{\mathcal {T}},ph}=\hbar {\frac {\partial \alpha }{\partial E}}\;,$

menant à l'expression :

${\frac {\partial {\mathcal {T}}}{\partial E}}=-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {T}}\;[\tau _{{\mathcal {T}},ph}-i\tau _{{\mathcal {T}},sp}]\;.$

Un traitement identique est effectué en ce qui concerne le coefficient de réflexion (à partir de l'expression de la partie réfléchie de l'état stationnaire). Il vient :

${\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial E}}=-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {R}}\;[\tau _{{\mathcal {R}},ph}-i\tau _{{\mathcal {R}},sp}]\;.$

Ainsi les dérivations partielles des coefficients de transmission et réflexion par rapport à l'énergie introduisent-elles les temps complexes :

${\begin{aligned}\tau _{{\mathcal {T}},E}=\tau _{{\mathcal {T}},ph}-i\tau _{{\mathcal {T}},sp}\;,\\\tau _{{\mathcal {R}},E}=\tau _{{\mathcal {R}},ph}-i\tau _{{\mathcal {R}},sp}\;.\end{aligned}}$

En ce qui concerne les parties imaginaires on doit souligner que dans le cas de barrière sans pertes, dans le cas où les deux demi-espaces extrêmes sont identiques, l'on dispose de la relation de conservation :

$\vert {\mathcal {T}}\vert ^{2}+\vert {\mathcal {R}}\vert ^{2}=1\;;$

menant à :

$\vert {\mathcal {T}}\vert ^{2}\,d\ln \vert {\mathcal {T}}\vert +\vert {\mathcal {R}}\vert ^{2}\,d\ln \vert {\mathcal {R}}\vert =0\;.$

Ceci constitue une règle de somme liant les parties imaginaires des temps réfléchis et transmis. Les partie imaginaires de ces temps seront appelées ci-dessous temps de déformation.

dérivée par rapport au potentiel

Les dérivées partielles des coefficients de transmission et réflexion par rapport au potentiel définiront des temps qui sont associés aux états stationnaires, dont l'évolution temporelle est décrite par un couplage avec des horloges secondaires qui seront les aiguilles classiques que l'on viendra lire. Ce couplage est en général limité aux parties d'espace où se trouvent la barrière, d'où le qualificatif de locale qui est associé à ce type d'horloge.

Dans la bibliographie l'on trouve cité trois exemples de ce type d'horloges : l'horloge de Larmor, la barrière modulée et l'horloge par absorption. Elles seront analysées spécifiquement plus loin. Ici, il faut juste noter que ces horloges sont définies à partir d'un couplage infinitésimal avec un degré de liberté supplémentaire qui est capable mettre en évidence un temps de présence de la particule dans la région où agit le potentiel. Bien sûr une éventuelle observation correspondra à un problème légèremment modifié lorsqu'on le compare au problème initial. Mais le concept important est qu'à la limite d'un couplage nul, l'on puisse se dire :

“la lecture éventuelle de cette horloge montrerait que le résultat serait le même que si la particule avait passé ce temps là dans la barrière“.

Ceci est obtenu en considérant que le potentiel croît d'une quantité $\delta V$ qui correspond au couplage avec le second degré de liberté [dans cette première approche on se contentera du cas d'une barrière de potentiel rectangulaire, le potentiel supplémentaire $\delta V$ étant ajouté à l'ensemble de la barrière. Ceci peut être dépassé en localisant ce petit potentiel dans une petite partie de la barrière, permettant de tester l'additivité de la durée de traversée, cf. infra].

En première approximation :

$\psi _{T}(x,t)=[{\mathcal {T}}(E,V)+{\frac {\partial {\mathcal {T}}}{\partial V}}\,\delta V]\;\exp(i[kx-Et/\hbar ])\;,$

permettant l'expression de la dérivée partielle

${\frac {\partial {\mathcal {T}}}{\partial V}}={\mathcal {T}}\;[{\frac {\partial }{\partial V}}Ln\vert {\mathcal {T}}\vert +i{\frac {\partial \alpha }{\partial V}}]\;.$

On introduit alors les temps (réels)

$\tau _{{\mathcal {T}}z}=-\hbar {\frac {\partial }{\partial V}}Ln\vert {\mathcal {T}}\vert \quad ;\quad \tau _{{\mathcal {T}}y}=-\hbar {\frac {\partial \alpha }{\partial V}}\;,$

dont les indices 'y' et 'z' se rapportent à la présentation de l'horloge de Larmor (cf. infra).

On notera que les composantes d'indice y (partie réelles de ces temps complexes) vérifient la relation d'exclusivité intéressante

$\tau _{D}=|{\mathcal {T}}|^{2}\;\tau _{{\mathcal {T}}y}+|{\mathcal {R}}|^{2}\;\tau _{{\mathcal {R}}y}\;.$

Ainsi, à première vue, il est apparaît possible de découper le temps de séjour en une composante liée à la partie transmise de l'onde et une autre à la partie réfléchie.