Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient g i j f ; i e j {\displaystyle g^{ij}f_{;i}\mathbf {e} _{j}} d'un champ scalaire f {\displaystyle f} s'écrit
∇ f = ∂ f ∂ r e r + 1 r 2 ∂ f ∂ ϕ e ϕ + ∂ f ∂ z e z {\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}
Soit, dans la base orthonormée,
∇ f = ∂ f ∂ r e r + 1 r ∂ f ∂ ϕ { e ϕ r } + ∂ f ∂ z e z {\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}
d'un champ scalaire 
s'écrit
