Calcul tensoriel/Appendices/Équations de Lagrange

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Étant donné un système de coordonnées quelconque xi, une variable τ permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables xi et leur dérivée totale par rapport à τ \dot{x}_i. On veut trouver une trajectoire x_i\left(\tau\right) d'extrémités données τ1 et τ2, qui minimise l'intégrale

\int_{\tau_1}^{\tau_2} L\left(x_i, \dot{x}_i\right) d\tau

Considérons une trajectoire infiniment voisine x'\left(\tau\right) = x\left(\tau\right) + \epsilon \xi\left(\tau\right) avec ε un infiniment petit et \xi\left(\tau_1\right) = \xi\left(\tau_2\right) = 0. Supposant que les solutions sont trouvées et \xi\left(\tau\right) donné, la fonction

S\left(\epsilon\right) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left(L\left(x_i, \dot{x}_i\right) + \epsilon \xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} + \epsilon \dot{\xi}\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} + o\left(\epsilon\right) \right)d\tau

est minimale pour ε = 0 :

0 = \left[ \frac{dS}{d\epsilon} \right] \left(0\right) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left( \xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} + \dot{\xi}\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right)d\tau

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que ξ a été supposée nulle aux bornes, on a

0 = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left(\xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} - \xi\left(\tau\right) \frac{d}{d\tau} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right)d\tau

Comme la fonction ξ est quelconque, on doit avoir

\frac{\partial L}{\partial x_i} - \frac{d}{d\tau} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} = 0
  • Remarques
    1. En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
    2. Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.
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